미적분수열의 극한과 급수1 / 2 차시

수열의 극한수렴발산

수열의 극한

수열의 수렴·발산을 판단하고, 극한값을 구할 수 있다.

수열

a_{n}

에서

n

이 한없이 커질 때

a_{n}

의 값이 어떤 일정한 값

L

에 한없이 가까워지면, 수열

{a_{n}}

은

L

에 수렴한다고 하고

lim_{n \to \infty} a_{n} = L

로 쓴다.

n

이 커져도 일정한 값에 가까워지지 않으면 발산한다고 한다. 발산에는 값이 한없이 커지는 경우, 한없이 작아지는(음의 방향으로 커지는) 경우, 일정한 값 없이 진동하는 경우가 있다.

분수 꼴 수열의 극한은 분자·분모를

n

의 최고차항으로 나누어 구한다.

lim_{n \to \infty} \frac{2 n + 1}{n + 3} = lim_{n \to \infty} \frac{2 + 1 / n}{1 + 3 / n} = \frac{2 + 0}{1 + 0} = 2

n \to \infty

일 때

1 / n \to 0

3 / n \to 0

이 되는 성질을 이용한다.

분자·분모가 둘 다 무한히 커지는 ∞/∞ 꼴은 그 자체로는 값을 알 수 없다. 반드시 최고차항으로 나누어 유한한 값끼리의 비로 바꾼 뒤 계산한다.

a_{n} = \frac{3 n - 2}{n + 1}

의 극한값을 구한다.

입문기본예상 2분

a_{n} = \frac{3 n - 2}{n + 1}

일 때

lim_{n \to \infty} a_{n}

을 구하시오.

a_{n} = \frac{2 n + 1}{n + 3}

에

n = 10, 100, 1000

을 차례로 대입해 보자.

n = 10

21 / 13 \approx 1.615

n = 100

201 / 103 \approx 1.951

n = 1000

2001 / 1003 \approx 1.995

분자(

2 n + 1

)도 분모(

n + 3

)도

n

이 커질수록 한없이 커진다. "둘 다 무한대로 가니 극한도 무한대"라고 생각하기 쉽지만, 계산해 보면 값은 2에 점점 가까워진다. 이유는 분자와 분모가 "같은 속도로" 커지기 때문이다. 둘 다

n

에 비례해서 커지므로, 그 비율은

n

이 아무리 커져도

2 n / n = 2

근처에서 안정된다. 분자·분모를

n

으로 나누면

\frac{2 + 1 / n}{1 + 3 / n}

이 되는데, 여기서

1 / n

과

3 / n

은

n

이 커질수록 0에 가까워지는 항이라서 결국

2 / 1 = 2

만 남는다. "두 값이 각각 무한대로 간다"는 것과 "그 비율이 무한대로 간다"는 것은 다른 이야기다 — ∞/∞ 꼴에서 분자·분모의 커지는 속도(차수)가 같으면 유한한 값으로 수렴할 수 있다.

분자·분모가 둘 다 발산해도, 최고차항의 차수가 같으면 그 비율(계수의 비)로 수렴한다. 차수가 다르면 발산하거나 0으로 수렴한다.

등비수열의 수렴과 발산

첫째항과 공비를 바꾸며, 공비의 절댓값이 1보다 작을 때 항이 0에 가까워지는 모습을 확인해 보자.

수열공비 r을 움직이며 |r|<1이면 항이 0으로 가까워지고, |r|≥1이면 그렇지 않은 것을 본다.

첫째항 a₁8

공비 r0.5

0.50

0.25

0.13

0.06

aₙ = 8 × 0.5^(n-1)
이웃한 항의 비가 항상 0.5로 일정하다.

분자·분모의 최고차항 차수를 먼저 비교한 뒤, 최고차항으로 나누어 계산한다.

기본적용예상 2분

a_{n} = \frac{n^{2} + 1}{n + 2}

일 때

lim_{n \to \infty} a_{n}

의 값을 구하시오. 극한값이 없으면 "발산"이라고 쓰시오.

심화오답률상위예상 2분

a_{n} = \frac{2 n^{2} - n}{4 n^{2} + 3}

일 때

lim_{n \to \infty} a_{n}

을 구하시오.

이 차시와 같은 개념을 쓰는 추가 문항 5개다. 유형과 난이도가 섞여 있다.

입문기본예상 1분

a_{n} = \frac{1}{n}

일 때

lim_{n \to \infty} a_{n}

을 구하시오.

기본적용예상 2분

a_{n} = (\frac{1}{2})^{n}

일 때

lim_{n \to \infty} a_{n}

을 구하시오.

심화오답률상위적용예상 3분

a_{n} = \sqrt{n + 1} - \sqrt{n}

일 때

lim_{n \to \infty} a_{n}

을 구하시오.

기본예상 2분

a_{n} = \frac{4 n - 1}{2 n + 3}

일 때

lim_{n \to \infty} a_{n}

을 구하시오.

심화오답률상위예상 3분

a_{n} = \sqrt{n^{2} + n} - n

일 때

lim_{n \to \infty} a_{n}

을 구하시오.

수열

a_{n}

이

n \to \infty

일 때 일정한 값

L

에 가까워지면 수렴, 그렇지 않으면 발산한다. 분수 꼴 수열의 극한은 분자·분모를

n

의 최고차항으로 나누어,

1 / n, 1 / n^{2}, \dots

항이 0으로 가는 성질을 이용해 구한다. 분자·분모가 둘 다 무한히 커져도(∞/∞ 꼴) 차수가 같으면 유한한 값으로 수렴할 수 있다는 것을 기억한다.