미적분여러 가지 함수의 미분1 / 2 차시

미분지수함수로그함수자연상수

지수함수·로그함수의 미분

e^x와 ln x의 도함수를 왜 그렇게 쓰는지 이해하고, 합성된 형태까지 미분할 수 있다.

지수함수

y = a^{x}

를 미분하면

a^{x}

에 어떤 상수가 곱해진 꼴이 나온다. 그 상수가 정확히 1이 되는 밑이 하나 있는데, 그것이

e

다. 그래서

(e^{x})' = e^{x}

가 된다. 미분해도 자기 자신인 함수는 여기서 나온다.

e

를 먼저 정의하고 미분한 것이 아니라, 미분이 가장 깔끔해지는 밑을

e

라고 부른 것이다.

(e^{x})' = e^{x}

(\ln x)' = 1 / x

(단

x > 0

)

(a^{x})' = a^{x} \ln a

(\log_{a} x)' = 1 / (x \ln a)

합성된 형태는 연쇄법칙을 붙인다.

(e^{f (x)})' = f' (x) e^{f (x)}

(\ln f (x))' = f' (x) / f (x)

ln x의 정의역은 x > 0이다. 도함수 1/x만 보고 x < 0까지 답에 넣지 않도록 주의한다.

지수함수와 로그함수의 관계

밑을 바꿔가며 지수함수와 로그함수가 직선 y = x에 대해 대칭인 역함수 관계라는 것을 확인해 보자.

그래프 조작밑을 바꾸며 지수함수와 로그함수가 y = x에 대칭인 역함수 관계임을 본다.

파랑 y = 2^x · 빨강 y = log₂ x
2^1 = 2.00 이므로 log₂ 2.00 = 1

두 곡선이 점선 y = x에 대해 대칭이다. 로그함수가 x > 0에서만 그려지는 이유는 지수함수의 값이 항상 양수이기 때문이다.

가장 기본이 되는 형태부터 확인한다.

기본예상 1분

f (x) = \ln x

(

x > 0

)의 도함수를 구하시오.

지수함수

y = a^{x}

의 도함수는

a^{x}

에 어떤 상수를 곱한 꼴이 되는데, 그 상수가 1이 되는 밑을 찾으면

e^{x}

가 나온다. 곱해지는 상수를 직접 관찰할 수 있으면 "왜 하필

e

인가"가 정의가 아니라 관찰 결과로 보인다.

상수 a가 달라지면 도함수에 ln a가 붙는다. ln a = 1인 밑이 e라는 의미다.

e^x와 ln x가 들어간 기본 형태를 미분하고, 연쇄법칙이 필요한 경우까지 확인해 보자.

기본예상 1분

f (x) = e^{3 x}

의 도함수를 구하시오.

심화서술예상 2분

f (x) = \ln (5 x)

(

x > 0

)의 도함수를 구하고, 왜 결과가

1 / x

가 되는지

\ln (5 x) = \ln 5 + \ln x

를 써서 설명하시오.

이 차시와 같은 개념을 쓰는 추가 문항 5개다. 유형과 난이도가 섞여 있다.

입문기본예상 1분

f (x) = e^{x} + 3

의 도함수를 구하시오.

기본적용예상 2분

f (x) = 2^{x}

의 도함수를 구하시오.

심화오답률상위적용예상 3분

f (x) = \ln (x^{2} + 1)

의 도함수를 구하시오.

입문기본예상 2분

f (x) = e^{2 x} - 1

의 도함수를 구하시오.

기본예상 2분

f (x) = \ln (3 x + 1)

의 도함수를 구하시오.

e^{x}

는 미분해도 그대로,

\ln x

는 미분하면

1 / x

다. - 밑이

e

가 아니면

\ln a

가 곱해지거나 나누어진다. - 안쪽 식이 있으면 연쇄법칙으로

f' (x)

를 반드시 곱한다.