정적분넓이활용
정적분의 활용: 넓이
정적분을 이용해 곡선과 x축, 또는 두 곡선 사이의 넓이를 구할 수 있다.
선행:부정적분과 정적분
구간 에서 이면, 곡선 와 x축, 직선 , 로 둘러싸인 부분의 넓이는 와 같다.
인 구간에서는 정적분 값 자체가 음수가 되므로, 넓이를 구할 때는 절댓값을 씌우거나 구간을 나누어 부호를 맞춰 준다.
인 구간의 넓이:
인 구간의 넓이:
구간 안에서 부호가 바뀌면, 바뀌는 지점(x절편)을 기준으로 구간을 나누어 각각 구한 뒤 더한다.
정적분 값 자체는 x축 아래에서 음수가 될 수 있지만, 넓이는 항상 0 이상이다. 이 둘을 같은 것으로 혼동하지 않는다.
과 x축, 직선 , 로 둘러싸인 부분의 넓이를 구한다.
를 구간 에서 정적분해 보자.
정적분 값이 로 음수가 나왔다. "넓이를 구하는 문제인데 답이 음수라니 계산이 틀렸나" 싶겠지만, 계산 자체는 맞다.
는 에서 음수, 에서 양수다. 구간 에서는 곡선이 x축 아래에 있어 그 부분의 정적분은 음수, 구간 에서는 곡선이 x축 위에 있어 그 부분의 정적분은 양수다.
이 둘을 그냥 더하면(부터 까지 한 번에 적분) 음수 부분과 양수 부분이 서로 상쇄되어, 실제 "넓이"보다 작은(이 경우 음수인) 값이 나온다.
실제 넓이를 구하려면 부호가 바뀌는 지점 을 기준으로 나눠야 한다.
정적분 그 자체(부호 있는 값)와 넓이(항상 양수인 값)는 다른 개념이다. x축 아래 구간이 있으면 정적분 값을 그대로 넓이로 쓰면 안 된다.
정적분 값은 x축 아래에서 음수가 될 수 있지만 넓이는 항상 0 이상이다. 구간 안에서 부호가 바뀌면 x절편으로 나누어 각각 계산한 뒤 더해야 한다.
구간 안에서 함수의 부호가 바뀌는지 먼저 확인하고, 바뀐다면 x절편으로 구간을 나눈다.
이 차시와 같은 개념을 쓰는 추가 문항 5개다. 유형과 난이도가 섞여 있다.
인 구간의 넓이는 정적분 값과 같지만, 인 구간에서는 정적분 값에 음의 부호를 붙이거나(-∫f(x)dx) 절댓값을 씌워야 넓이가 된다.
구간 안에서 함수의 부호가 바뀌면 x절편을 기준으로 구간을 나누어 각각 넓이를 구한 뒤 더한다.
정적분 값(부호 있음)과 넓이(항상 양수)를 같은 것으로 혼동하지 않는다.