미분삼각함수연쇄법칙
삼각함수의 미분
sin, cos의 도함수를 이해하고, 연쇄법칙과 함께 삼각함수를 미분할 수 있다.
삼각함수 , 도 미분할 수 있다. 두 함수는 미분하면 서로의 관계로 맞물린다.
를 미분하면 가 되고, 를 미분하면 가 된다.
합성된 형태는 연쇄법칙을 붙인다.
이 공식은 각 의 단위가 라디안일 때 성립한다.
의 도함수를 구하시오.
라는 공식은 겉보기에 단위와 무관해 보이지만, 사실은 가 라디안일 때만 성립한다.
근처에서 의 순간 변화율(미분계수)이 정확히 이 되는 것은, 라디안이라는 각도 단위 자체가 "호의 길이 ÷ 반지름"으로 정의되어 있기 때문이다.
만약 를 도(度) 단위로 그대로 넣어 를 만들면 어떻게 될까.
에서 까지 변할 때, 이고 이므로 평균변화율은
라디안일 때는 이 값이 1에 가까워지는데, 도 단위로는 약 ()에 가까워진다. 과 전혀 다른 값이다.
이 차이는 도와 라디안의 환산 비율 에서 정확히 나온다. 도 단위로 미분하면 공식 전체에 이 곱해진 형태가 되어, 라는 깔끔한 공식이 깨진다.
그래서 미적분에서 삼각함수를 다룰 때는 각을 반드시 라디안으로 놓고 계산한다.
라디안은 '호의 길이를 반지름으로 나눈 값'으로 정의되어 단위가 없는 순수한 수다. 그래서 극한·미분 공식이 π나 180 같은 환산 상수 없이 깔끔하게 나온다.
안쪽 함수를 확인하고 연쇄법칙을 적용해 도함수를 구해 보자.
이 차시와 같은 개념을 쓰는 추가 문항 5개다. 유형과 난이도가 섞여 있다.
, 이며, 이는 가 라디안일 때만 성립한다.
합성함수는 연쇄법칙으로 처럼 바깥쪽을 미분한 뒤 안쪽의 도함수를 곱한다.