미적분수열의 극한과 급수2 / 2 차시

급수등비급수무한급수

급수

무한급수의 수렴·발산을 판단하고, 등비급수의 합을 구할 수 있다.

수열

a_{n}

의 항을 차례로 더한

a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots

을 무한급수라 하고, 첫째항부터

n

째항까지의 합

S_{n} = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}

을 부분합이라고 한다. 부분합 수열

{S_{n}}

이 어떤 값

S

에 수렴하면, 무한급수는

S

로 수렴한다고 하고 그 값을 무한급수의 합이라고 한다.

첫째항이

a

(

a \neq 0

), 공비가

r

인 등비급수

a + a r + a r^{2} + \dots

은

| r | < 1

이면 수렴하고, 그 합은

\frac{a}{1 - r}

이다.

| r | \geq 1

이면 발산한다.

공비의 절댓값이 1보다 작을 때만 등비급수의 합 공식을 쓸 수 있다. |r| ≥ 1인데 공식에 대입하면 틀린 값이 나온다.

1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \dots

의 합을 구한다.

입문기본예상 1분

1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \dots

의 합을 구하시오.

첫째항 1, 공비

- 1

인 등비급수

1 - 1 + 1 - 1 + \dots

의 부분합을 차례로 구해 보자.

S_{1} = 1

S_{2} = 1 - 1 = 0

S_{3} = 1 - 1 + 1 = 1

S_{4} = 1 - 1 + 1 - 1 = 0

, ⋯ 부분합이 1과 0을 번갈아 반복할 뿐, 어떤 하나의 값에 가까워지지 않는다. "1과 0을 왔다갔다 하니 평균인 0.5로 수렴하는 것 아닐까"라고 생각하기 쉽지만, 급수의 수렴은 "부분합이 항을 더할수록 하나의 값에 한없이 가까워지는가"로 정의되지, 왔다갔다 하는 값들의 평균으로 정의되지 않는다.

S_{n}

이 항을 더해 갈수록 1과 0 중 어느 한쪽에도 정착하지 못하므로, 이 급수는 진동하며 발산한다. 공비

r = - 1

은

| r | = 1 \geq 1

이므로, 등비급수의 발산 조건(

| r | \geq 1

)과도 일치한다.

부분합이 특정 값들 사이를 오가며 안정되지 않으면(진동) 발산으로 본다. 왔다갔다 하는 값의 평균을 급수의 합으로 여기면 안 된다.

공비의 절댓값이 1보다 작은지부터 확인한 뒤 합 공식을 적용한다.

기본적용예상 2분

2 + 6 + 18 + 54 + \dots

의 합을 구하시오. 수렴하지 않으면 "발산"이라고 쓰시오.

심화함정예상 2분

3 - 3 + 3 - 3 + \dots

의 합을 구하시오. 수렴하지 않으면 "발산"이라고 쓰시오.

이 차시와 같은 개념을 쓰는 추가 문항 5개다. 유형과 난이도가 섞여 있다.

입문기본예상 2분

급수

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{3^{n}}

의 합을 구하시오.

기본적용예상 2분

급수

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n}{n + 1}

이 수렴하는지 발산하는지 판별하려 한다. 다음 중 옳은 판단과 근거를 고르시오.

심화오답률상위적용예상 3분

순환소수

0.474747...

(

47

이 반복)을 기약분수로 나타내시오.

기본예상 2분

4 + 2 + 1 + \frac{1}{2} + \dots

의 합을 구하시오.

심화적용예상 3분

다음 무한등비급수의 합을 분수로 나타내시오:

0.5 + 0.05 + 0.005 + \dots

무한급수의 합은 부분합 수열

S_{n}

의 극한으로 정의한다. 등비급수는 공비

r

에 대해

| r | < 1

일 때만 수렴하고, 그 합은

a / (1 - r)

이다.

| r | \geq 1

이면 발산한다(왔다갔다 하는 경우 포함). 등비급수의 합을 구하기 전에 반드시

| r | < 1

인지부터 확인한다.

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