기하벡터1 / 2 차시

벡터성분벡터의 연산

벡터의 뜻과 연산

벡터를 성분으로 나타내고, 벡터의 덧셈·뺄셈·실수배를 계산할 수 있다.

크기만으로 정해지는 양(길이, 온도 등)을 스칼라라 하고, 크기와 방향을 모두 가진 양을 벡터라고 한다. 벡터는 화살표로 나타내며, 시작점 A에서 끝점 B로 향하는 벡터를 기호로 AB라고 쓴다(화살표는 지면에서 A 위에 얹어 표시한다). 시작점을 원점에 맞춘 벡터를 위치벡터라 하고, 좌표평면에서는 끝점의 좌표를 그대로 성분으로 써서 벡터

a = (a_{1}, a_{2})

처럼 나타낸다. 이 자료에서는 벡터를 화살표 없이 기울인 소문자(a, b)로 표기한다.

a = (a_{1}, a_{2})

b = (b_{1}, b_{2})

일 때 덧셈:

a + b = (a_{1} + b_{1}, a_{2} + b_{2})

뺄셈:

a - b = (a_{1} - b_{1}, a_{2} - b_{2})

실수배:

k a = (k a_{1}, k a_{2})

크기:

| a | = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2}}

벡터의 덧셈은 성분끼리 더하는 것이지, 크기(길이)끼리 더하는 것이 아니다.

a = (2, 3)

b = (- 1, 4)

일 때

a + b

를 구한다.

입문기본예상 1분

a = (2, 3)

b = (- 1, 4)

일 때

a + b

를 구하시오.

크기가 3인 벡터

a

와 크기가 4인 벡터

b

를 더한

a + b

의 크기는 항상 7일까. 세 가지 경우로 확인해 보자. 같은 방향일 때:

a = (3, 0)

b = (4, 0)

이면

a + b = (7, 0)

이고 크기는 7이다. 정반대 방향일 때:

a = (3, 0)

b = (- 4, 0)

이면

a + b = (- 1, 0)

이고 크기는 1이다. 수직일 때:

a = (3, 0)

b = (0, 4)

이면

a + b = (3, 4)

이고 크기는

\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5

다. 같은 두 크기(3과 4)를 더했는데도 결과의 크기가 7, 1, 5로 완전히 다르다. 이유는 벡터에는 크기뿐 아니라 방향이 있어서, 두 벡터가 이루는 각도에 따라 서로 더해지는 정도(강화되는지 상쇄되는지)가 달라지기 때문이다. 숫자(크기)만 보고 "3+4=7"처럼 스칼라 덧셈을 하면 방향 정보를 무시하게 되어 틀린다. 벡터의 덧셈은 반드시 성분끼리(또는 방향을 고려해 평행사변형법으로) 더해야 한다.

벡터의 합의 크기는 두 벡터가 이루는 각도에 따라 |a|+|b|(같은 방향, 최댓값)와 ||a|-|b||(정반대 방향, 최솟값) 사이의 어떤 값도 될 수 있다.

성분끼리 더하거나 빼고, 실수배는 각 성분에 곱한다. 크기는 마지막에 √(x²+y²)으로 구한다.

기본적용예상 2분

a = (3, 4)

일 때

| 2 a |

를 구하시오.

심화오답률상위예상 2분

크기가 5인 벡터

a

와 크기가 3인 벡터

b

가 정반대 방향일 때,

| a + b |

를 구하시오.

이 차시와 같은 개념을 쓰는 추가 문항 5개다. 유형과 난이도가 섞여 있다.

입문기본예상 1분

a = (5, 2)

b = (3, - 1)

일 때

a - b

를 구하시오.

기본적용예상 2분

a = (3, 4)

방향의 단위벡터를 구하시오.

심화오답률상위적용예상 3분

a = (2, k)

와

b = (6, 9)

가 서로 평행할 때

k

의 값을 구하시오.

기본예상 2분

a = (4, - 1)

b = (- 2, 5)

일 때

2 a - b

를 구하시오.

심화적용예상 2분

a = (2, 3)

b = (x, - 6)

이고

a

와

b

가 서로 평행할 때,

x

의 값을 구하시오.

벡터는 크기와 방향을 함께 가지며, 성분

(a_{1}, a_{2})

로 나타내면 덧셈·뺄셈·실수배는 모두 성분별 계산이 된다. 벡터의 크기는

\sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2}}

로 구하며, 두 벡터를 더한 크기는 단순히 두 크기를 더한 값이 아니라 두 벡터가 이루는 각도에 따라 달라진다. 방향이 다른 두 벡터를 더할 때는 숫자(크기)가 아니라 성분으로 계산해야 한다.