꼬인 위치직선과 평면이면각
직선과 평면의 위치 관계
공간에서 두 직선, 직선과 평면의 위치 관계를 판단하고, 꼬인 위치와 이면각의 뜻을 이해한다.
평면에서는 두 직선이 만나거나 평행한 것, 두 가지 경우뿐이었다. 공간에서는 한 가지 경우가 더 있다 — 만나지도 않고 평행하지도 않는 경우로, 이를 꼬인 위치라고 한다.
두 직선이 평행하려면 같은 평면 위에 있으면서 만나지 않아야 한다. 꼬인 위치의 두 직선은 아예 같은 평면 위에 놓이지 않는다.
직선과 평면의 위치 관계는 세 가지다: 직선이 평면에 포함된다, 한 점에서 만난다, 평행하다(만나지 않는다).
직선이 평면과 수직이려면, 그 직선이 평면 위에 있는 모든 직선과 수직이어야 한다(실제로는 평면 위에서 만나는 두 직선과만 수직이어도 충분하다).
두 평면이 만나 이루는 각을 이면각이라 하고, 교선에 수직으로 그은 두 반직선이 이루는 각으로 측정한다.
직선이 평면 위의 '어떤 한 직선'과 수직이라고 해서 그 평면과 수직인 것은 아니다. 평면 위에서 서로 만나는 두 직선 모두와 수직이어야 한다.
직육면체 ABCD-EFGH에서 모서리 AB와 모서리 EH가 만나는지, 평행한지, 꼬인 위치인지 판단한다.
평면도형에서는 "두 직선이 만나지 않는다 = 평행하다"가 항상 성립했다. 공간에서도 그럴까.
한 모서리의 길이가 4인 정육면체 ABCD-EFGH를 생각하자(밑면 ABCD, 윗면 EFGH, A 위에 E가 오도록). 모서리 AB(밑면의 한 변)와 모서리 CG(윗면과 밑면을 잇는 세로 모서리 중 C 위의 것)를 보자.
AB와 CG는 만나지 않는다 — AB는 밑면 위에, CG는 C에서 수직으로 올라가는 선이라 한 점에서 만나려면 AB가 C를 지나야 하는데 그렇지 않다.
그런데 AB와 CG는 평행하지도 않다 — AB는 밑면과 나란한 방향, CG는 밑면에 수직인 방향으로 서로 다른 방향을 향한다.
만나지도 않고 평행하지도 않으므로, AB와 CG는 꼬인 위치에 있다. 평면에서 배운 "안 만나면 평행"이라는 규칙은 두 직선이 같은 평면 위에 있을 때만 성립하는 것이었는데, 공간에서는 애초에 같은 평면 위에 있지 않은 두 직선이 있을 수 있기 때문에 이 규칙이 깨진다.
정육면체 하나만 봐도 꼬인 위치의 모서리 쌍이 여러 개 있다 — 공간에서는 "안 만난다"는 것만으로 평행을 결론지을 수 없고, 두 직선이 정말 같은 평면 위에 있는지까지 확인해야 한다.
공간에서 두 직선이 만나지 않는다고 반드시 평행인 것은 아니다. 같은 평면 위에 있으면서 안 만나면 평행, 아예 다른 평면에 있으면 꼬인 위치다.
두 직선(또는 직선과 평면)이 같은 평면 위에 있는지부터 확인한 뒤 만나는지, 평행한지, 꼬인 위치인지 판단한다.
이 차시와 같은 개념을 쓰는 추가 문항 5개다. 유형과 난이도가 섞여 있다.
공간에서 두 직선의 위치 관계는 만난다, 평행하다, 꼬인 위치(만나지도 평행하지도 않음)의 세 가지다.
직선과 평면의 위치 관계는 포함된다, 한 점에서 만난다, 평행하다의 세 가지이며, 직선이 평면과 수직이려면 평면 위에서 만나는 두 직선 모두와 수직이어야 한다.
"안 만나면 평행"이라는 평면의 규칙은 두 직선이 같은 평면 위에 있을 때만 성립한다는 조건을 기억한다.