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수학 학습
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벡터내적수직조건

벡터의 내적

벡터의 내적을 성분과 각으로 계산하고, 내적의 부호로 두 벡터가 이루는 각의 종류를 판단할 수 있다.

선행:벡터의 뜻과 연산
두 벡터 a, b가 이루는 각을 θ라 할 때, 내적은 a⋅b=|a||b|cosθ로 정의한다. 두 벡터가 아니라 하나의 실수(스칼라) 값이 나온다. 성분으로는 a=(a1,a2), b=(b1,b2)일 때 a⋅b=a1b1+a2b2로 계산한다.
a⋅b=a1b1+a2b2=|a||b|cosθ 두 벡터가 수직이면 θ=90°이고 cos90°=0이므로 a⋅b=0이다. 거꾸로 내적이 0이면(영벡터가 아닌 한) 두 벡터는 수직이다.
내적이 0이라고 해서 두 벡터 중 하나가 영벡터라는 뜻은 아니다. 영벡터가 아닌 두 벡터의 내적이 0이면 그 둘은 수직이라는 뜻이다.
a=(2,3), b=(4,−1)일 때 a⋅b를 구한다.
입문기본예상 1분
a=(2,3), b=(4,−1)일 때 a⋅b를 구하시오.
a=(1,0), b=(−1,1)의 내적을 구해 보자. a⋅b=1×(−1)+0×1=−1로 음수가 나온다. "내적은 두 벡터를 곱한 것인데 결과가 음수라니 이상하다"고 생각하기 쉽지만, 내적 공식 |a||b|cosθ에서 크기 |a|,|b|는 항상 0 이상이지만 cosθ는 각 θ에 따라 음수가 될 수 있다. θ가 예각(0°~90° 미만)이면 cosθ>0이라 내적도 양수, θ=90°면 cosθ=0이라 내적도 0, θ가 둔각(90°~180°)이면 cosθ<0이라 내적도 음수가 된다. 실제로 a=(1,0)과 b=(−1,1)이 이루는 각은 135°(둔각)이므로, cos135°<0이고 내적이 음수로 나온 것은 계산 실수가 아니라 두 벡터가 둔각을 이루고 있다는 정보다. 즉 내적의 부호만으로도 두 벡터가 이루는 각이 예각인지, 직각인지, 둔각인지 바로 판단할 수 있다 — 이것이 내적이 자주 쓰이는 이유 중 하나다.
내적의 부호는 각의 종류를 알려준다: 양수면 예각, 0이면 직각, 음수면 둔각. 음수가 나왔다고 계산 실수로 여기지 않는다.
내적을 계산한 뒤 그 부호로 두 벡터가 이루는 각이 예각·직각·둔각 중 무엇인지 판단한다.
기본적용예상 2분
a=(k,3), b=(2,−6)이 서로 수직일 때, k의 값을 구하시오.
심화함정서술예상 2분
a=(1,2), b=(−3,1)의 내적을 구하고, 두 벡터가 이루는 각이 예각·직각·둔각 중 무엇인지 쓰시오. (내적값, 각의 종류 순서로 쉼표로 나열)
이 차시와 같은 개념을 쓰는 추가 문항 5개다. 유형과 난이도가 섞여 있다.
입문기본예상 2분
|a|=2, |b|=3, a⋅b=3일 때 두 벡터가 이루는 각 θ의 cosθ 값을 구하시오.
기본적용예상 2분
a=(3,4), b=(4,3)일 때 두 벡터가 이루는 각의 코사인값을 구하시오.
심화오답률상위적용예상 3분
a=(4,0), b=(3,3)일 때, b의 a 방향 정사영의 크기를 구하시오.
기본예상 2분
a=(1,−3), b=(−2,4)일 때 a·b를 구하시오.
심화적용예상 2분
a=(k,3), b=(2,k−1)이 서로 수직일 때, k의 값을 구하시오.
내적 a⋅b=a1b1+a2b2=|a||b|cosθ는 두 벡터로부터 하나의 실수를 얻는 연산이다. 내적이 0이면(둘 다 영벡터가 아닌 한) 두 벡터는 수직이고, 내적의 부호로 두 벡터가 이루는 각이 예각(양수)·직각(0)·둔각(음수)인지 판단할 수 있다. 내적 값이 음수로 나와도 계산 실수가 아니라 둔각이라는 정보로 해석한다.
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