이차곡선포물선타원쌍곡선
이차곡선: 포물선·타원·쌍곡선
표준형 방정식으로 포물선·타원·쌍곡선을 구별할 수 있다.
x, y의 이차식으로 나타나는 곡선을 이차곡선이라 하고, 대표적으로 포물선·타원·쌍곡선이 있다.
셋 다 겉보기에는 비슷한 이차식이지만, 항의 부호와 개수가 곡선의 모양을 완전히 다르게 만든다.
타원과 쌍곡선은 항이 두 개(x², y²)라는 점은 같지만, 둘 사이의 연산이 덧셈이면 타원, 뺄셈이면 쌍곡선이다.
타원 에서 장축의 길이를 구하시오.
타원과 쌍곡선은 둘 다 항과 항을 가진 이차식이라, 얼핏 보면 같은 종류로 보이기 쉽다.
그런데 부호 하나가 곡선의 모양을 완전히 바꿔 놓는다.
** (타원)**
을 대입하면 , , . 실수 해가 존재한다.
을 대입하면 , . 이것도 실수 해다.
x절편 과 y절편 이 모두 존재하므로, 곡선이 네 방향 모두에서 닫혀 하나의 타원(달걀 모양의 폐곡선)을 이룬다.
** (쌍곡선)**
을 대입하면 , 로 앞과 똑같다.
그런데 을 대입하면 , 즉 가 되어 **실수 해가 없다**.
y절편이 아예 존재하지 않는다는 것은, 곡선이 y축 근처를 지나가지 않는다는 뜻이다.
이 곡선은 오른쪽과 왼쪽, 두 갈래로 끝없이 벌어지며 뻗어 나가는 모양이 되고, 절대 닫힌 도형을 이루지 않는다.
두 식은 겨우 부호 하나(+와 -)만 다른데, 그 결과 하나는 닫힌 곡선(타원)이 되고 다른 하나는 끝없이 벌어지는 두 갈래 곡선(쌍곡선)이 된다.
이차곡선의 종류를 판별할 때는 항과 항이 있다는 것만 보지 말고, 그 사이의 부호(덧셈인지 뺄셈인지)를 반드시 확인해야 한다.
부호를 바꿔 y = 0 또는 x = 0을 대입했을 때 실수 해가 나오는지 확인하면 타원과 쌍곡선을 빠르게 구별할 수 있다. 쌍곡선은 한쪽 절편이 아예 없다.
방정식의 부호와 절편을 확인해 곡선의 종류와 정보를 구해 보자.
이 차시와 같은 개념을 쓰는 추가 문항 5개다. 유형과 난이도가 섞여 있다.
타원 과 쌍곡선 은 항의 부호 하나로 갈린다.
타원은 x절편과 y절편이 모두 실수로 존재해 닫힌 곡선을 이루고, 쌍곡선은 한쪽 절편이 존재하지 않아 두 갈래로 벌어진다.
곡선의 종류를 판별할 때는 , 항 사이의 부호를 먼저 확인한다.