수학I지수와 로그1 / 2 차시

지수법칙거듭제곱확장

지수법칙과 거듭제곱의 확장

지수법칙을 정리하고, 거듭제곱의 의미를 이해한다.

m

n

이 자연수일 때

a^{m} \times a^{n} = a^{m + n}

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

{(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}

이 성립한다. 이후 지수가 0이나 음의 정수까지 확장되면, 같은 규칙성이 유지되도록 정의한다.

a \neq 0

일 때

a^{0} = 1

a^{- n} = 1 / a^{n}

a^{m} \div a^{n} = a^{m - n}

이 세 식은 새로 만든 규칙이 아니라,

a^{m} \times a^{n} = a^{m + n}

이 계속 성립하도록 맞춘 결과다.

a = 0

은 제외한다.

0^{0}

이나

1 / 0^{n}

은 값을 정할 수 없기 때문이다.

2^{3} \times 2^{4}

를 계산하시오.

입문기본예상 1분

2^{3} \times 2^{4}

를 계산하시오.

2^{0}

을 "2를 0번 곱한 것"으로 읽으면 뜻이 통하지 않는다. 곱하지 않았으니 0이어야 할 것 같다. 그런데 나눗셈으로 보면 답이 달라진다.

2^{3} \div 2^{3} = 8 \div 8 = 1

같은 식을 지수법칙으로 계산하면

2^{3 - 3} = 2^{0}

두 계산이 같은 식이므로

2^{0} = 1

이어야 한다. 같은 방법으로

2^{- 1}

도 정해진다.

2^{2} \div 2^{3} = 4 \div 8 = 1 / 2

이고, 지수법칙으로는

2^{- 1}

이다. 즉 확장된 지수는 "정의를 새로 만든 것"이 아니라 "기존 법칙이 깨지지 않는 유일한 값"을 고른 것이다. 수학에서 정의를 확장할 때 반복해서 쓰는 방식이니 기억해 두면 좋다.

a = 0

에서 막히는 이유도 같은 방식으로 보인다.

0^{3} \div 0^{3}

은

0 \div 0

이라 값을 정할 수 없다.

지수가 0과 음수로 늘어난 상태에서 법칙이 그대로 쓰이는지 확인해 보자.

기본예상 1분

3^{5} \div 3^{7}

을 지수법칙으로 계산하고, 분수 꼴로 나타내시오.

심화서술예상 3분

a \neq 0

일 때

a^{0} = 1

로 정의하는 근거를 지수법칙을 이용해 설명하시오. 또

a = 0

을 제외하는 이유도 함께 쓰시오.

이 차시와 같은 개념을 쓰는 추가 문항 5개다. 유형과 난이도가 섞여 있다.

입문기본예상 1분

{(2^{3})}^{2}

의 값을 구하시오.

기본적용예상 2분

5^{- 2}

의 값을 구하시오.

심화오답률상위적용예상 3분

\frac{2^{5} \times 2^{- 2}}{2^{- 1}}

의 값을 구하시오.

기본예상 2분

(2^{5} \times 2^{- 2}) \div 2^{2}

의 값을 구하시오.

기본예상 2분

\frac{x^{6}}{x^{2} \times x^{- 1}}

을 간단히 하시오.

지수법칙은 곱셈 횟수를 정리하는 규칙이다. 지수를 0과 음의 정수로 넓힐 때는

a^{m} \times a^{n} = a^{m + n}

이 계속 성립하도록 값을 정하며, 그 결과가

a^{0} = 1

a^{- n} = 1 / a^{n}

이다. 단

a \neq 0

이다.