수학I수열1 / 2 차시

수열등차수열일반항

수열과 등차수열

수열을 이해하고, 등차수열의 일반항을 구할 수 있다.

수열은 번호를 가진 수들을 순서대로 나열한 것이다.

n

번째 항을

a_{n}

이라 하고,

n

이 주어지면

a_{n}

을 정하는 규칙을 일반항이라고 한다.

등차수열은 연속된 두 항의 차가 일정한 수열이다. 첫째항이

a

, 공차가

d

이면 일반항은

a_{n} = a + (n - 1) d

이다.

첫째항과 공차를 움직여 보기

첫째항

a_{1}

과 공차

d

를 바꾸면 항들이 어떻게 달라지는지 확인해 보자.

d

의 부호만 바꿔도 수열이 커지던 것이 작아지고,

d = 0

이면 모든 항이 같아진다.

수열첫째항과 공차를 바꾸며 이웃한 항의 차가 일정한 것을 본다.

첫째항 a₁2

공차 d3

aₙ = 2 + (n - 1) × 3
이웃한 항의 차가 항상 3로 일정하다.

첫째항이 3이고 공차가 2인 등차수열의 10번째 항을 구하시오.

기본예상 1분

첫째항이 3이고 공차가 2인 등차수열의 10번째 항을 구하시오.

a_{n} = a + (n - 1) d

를

n

에 대해 정리해 보자.

a_{n} = a + (n - 1) d = d n + (a - d)

즉

a_{n}

은

n

에 대한 일차식이고, 기울기 자리에 공차

d

가 온다.

(n, a_{n})

을 좌표평면에 찍으면 점들이 한 직선 위에 놓인다. 다만

n

이 자연수이므로 선이 아니라 점만 찍힌다. 여기서 바로 따라오는 성질이 두 가지 있다. ·

d > 0

이면 계속 커지고,

d < 0

이면 계속 작아지며,

d = 0

이면 모든 항이 같다. · 두 항만 알면 수열 전체가 정해진다. 직선이 두 점으로 정해지는 것과 같은 이유다. 예를 들어

a_{3} = 7

a_{7} = 19

이면

d = (19 - 7) / (7 - 3) = 3

이다. 분모가

(7 - 3)

인 것에 주의한다. 항 번호의 차이만큼 공차를 더했기 때문이다.

일반항이 n에 대한 일차식이면 그 수열은 반드시 등차수열이다. 역도 성립한다.

주어진 정보에서 첫째항과 공차를 되찾는 연습이다.

기본적용예상 2분

등차수열

{a_{n}}

에서

a_{3} = 7

a_{7} = 19

일 때 첫째항

a_{1}

을 구하시오.

심화적용오답률상위예상 3분

첫째항이 50이고 공차가 -4인 등차수열에서 처음으로 음수가 되는 항은 제몇 항인지 구하시오.

이 차시와 같은 개념을 쓰는 추가 문항 5개다. 유형과 난이도가 섞여 있다.

입문기본예상 2분

첫째항이 2이고 공차가 5인 등차수열의 첫째항부터 제6항까지의 합을 구하시오.

기본적용예상 2분

세 수 4, x, 16이 이 순서로 등차수열을 이룰 때 x의 값을 구하시오.

심화오답률상위적용예상 3분

등차수열

{a_{n}}

에서 첫째항부터 제n항까지의 합이

S_{n} = n^{2} + 2 n

일 때 일반항

a_{n}

을 구하시오.

입문기본예상 1분

첫째항이

5

이고 공차가

3

인 등차수열의 8번째 항을 구하시오.

입문적용예상 2분

첫째항이 7이고 공차가 4인 등차수열에서 47은 제몇 항인지 구하시오.

등차수열은 연속된 두 항의 차가 일정한 수열이고, 일반항은

a_{n} = a + (n - 1) d

이다. 정리하면

a_{n} = d n + (a - d)

로

n

에 대한 일차식이며, 공차가 기울기 역할을 한다. 서로 다른 두 항을 알면 공차와 첫째항을 모두 되찾을 수 있다.