수학I수열2 / 2 차시

등비수열공비일반항

등비수열

등비수열의 일반항을 구하고, 공비의 부호와 크기가 항에 미치는 영향을 이해한다.

등비수열은 연속된 두 항의 비가 일정한 수열이다. 이웃한 항끼리 일정한 수를 곱해서 다음 항을 만들며, 이 일정한 수를 공비라고 한다.

첫째항이

a

, 공비가

r

이면 일반항은

a_{n} = a r^{n - 1}

등차수열이 "일정한 수를 더하는" 수열이라면, 등비수열은 "일정한 수를 곱하는" 수열이다.

공비를 움직여 보기

공비

r

를 바꾸면 항이 얼마나 빨리 커지고 작아지는지 확인해 보자.

r > 1

이면 빠르게 커지고,

0 < r < 1

이면 0에 가까워지며,

r < 0

이면 부호가 번갈아 바뀐다.

수열공비가 1보다 큰지 작은지에 따라 항이 어떻게 커지고 작아지는지 본다.

첫째항 a₁1

공비 r2.0

128

aₙ = 1 × 2^(n-1)
이웃한 항의 비가 항상 2로 일정하다.

첫째항이 3이고 공비가 2인 등비수열의 5번째 항을 구하시오.

기본예상 1분

첫째항이 3이고 공비가 2인 등비수열의 5번째 항을 구하시오.

등차수열에서는 공차의 부호만 보면 수열이 계속 커지는지 작아지는지 바로 안다. 등비수열도 그렇게 생각하기 쉽지만, 공비가 음수이면 이야기가 다르다. **첫째항 2, 공비 -3인 경우**

2, - 6, 18, - 54, \dots

절댓값 2, 6, 18, 54는 3배씩 계속 커지지만, 부호는 +, -, +, -로 항마다 뒤집힌다. "공비의 절댓값이 1보다 크니까 계속 커진다"는 말은 절댓값에만 맞고, 항 자체는 커졌다 작아졌다 하는 것처럼 보인다. **첫째항 16, 공비 -1/2인 경우**

16, - 8, 4, - 2, \dots

이번엔 절댓값이 16, 8, 4, 2로 점점 작아진다. 그런데 부호는 여전히 +, -, +, -로 뒤집힌다. 절댓값이 작아지는 것과 항의 부호가 뒤집히는 것은 서로 다른 문제다. |r|이 항의 크기를, r의 부호가 항의 부호를 각각 결정한다. 정리하면 등비수열의 증가·감소를 판단할 때는 절댓값

| r |

과 부호를 나눠서 봐야 한다.

| r | > 1

이면 절댓값이 커지고

| r | < 1

이면 절댓값이 작아지며,

r < 0

이면 부호가 항마다 뒤집힌다.

r > 0

이면 모든 항의 부호가 첫째항과 같다. 부호가 뒤집히는 경우는

r < 0

일 때뿐이다.

주어진 항에서 공비와 첫째항을 되찾거나, 음수 공비일 때 항의 부호까지 다뤄 보자.

기본적용예상 2분

등비수열

{a_{n}}

에서

a_{2} = 6

a_{5} = 48

일 때 공비

r

과 첫째항

a_{1}

을 구하시오.

심화적용함정서술예상 3분

첫째항이 16이고 공비가 -1/2인 등비수열의 4번째 항을 구하고, 그 값의 부호가 왜 그렇게 되는지 설명하시오.

이 차시와 같은 개념을 쓰는 추가 문항 5개다. 유형과 난이도가 섞여 있다.

입문기본예상 2분

첫째항이 3이고 공비가 2인 등비수열의 첫째항부터 제4항까지의 합을 구하시오.

기본적용예상 2분

세 수 2, x, 18이 이 순서로 등비수열을 이룰 때, 양수 x의 값을 구하시오.

심화오답률상위적용예상 3분

등비수열

{a_{n}}

에서

a_{2} = 6

a_{2} + a_{3} = 42

일 때 첫째항

a_{1}

과 공비

r

을 차례로 구하시오.

입문기본예상 2분

첫째항이

2

이고 공비가

3

인 등비수열의 4번째 항을 구하시오.

심화오답률상위적용예상 3분

첫째항이 5이고 공비가 -2인 등비수열의 첫째항부터 제4항까지의 합을 구하시오.

등비수열은 연속된 두 항의 비가 일정한 수열이고, 일반항은

a_{n} = a r^{n - 1}

이다.

| r | > 1

이면 절댓값이 커지고

| r | < 1

이면 절댓값이 작아지며, 이는 부호와 별개다. 공비가 음수이면 항의 부호가 매번 뒤집힌다.

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