수학I지수와 로그2 / 2 차시

로그정의성질

로그의 뜻과 기본 성질

로그를 지수의 역연산으로 이해하고, 기본 성질을 다룰 수 있다.

a > 0

a \neq 1

일 때

a^{x} = b

이면

x = \log_{a} b

로 정의한다. 즉 로그는 ‘어떤 수를 만들기 위해 필요한 지수’를 나타낸다.

\log_{a} (M N) = \log_{a} M + \log_{a} N

\log_{a} (M / N) = \log_{a} M - \log_{a} N

\log_{a} M^{k} = k \log_{a} M

이 성질들은 지수의 성질과 짝을 이룬다.

\log_{2} 8

의 값을 구하시오.

입문개념확인예상 1분

\log_{2} 8

의 값을 구하시오.

로그의 기본 성질을 이용한 기본 문항을 풀어 보자.

기본적용서술예상 1분

\log_{2} (8 \times 4)

를

\log_{2} 8 + \log_{2} 4

로 바꾸어 구할 수 있는 이유를 쓰시오.

심화적용오답률상위서술예상 2분

\log_{2} (8 \times 4)

를

\log_{3} 8 + \log_{3} 4

로 바꿔 계산해도 되는지 판단하고 이유를 쓰시오.

\log_{2} (8)

에

\log_{2} (4)

를 더하는 상황과

\log_{2} (8 \times 4)

를 구하는 상황을 나란히 놓고 보자.

\log_{2} 8 = 3

\log_{2} 4 = 2

이므로 ·

\log_{2} 8 + \log_{2} 4 = 3 + 2 = 5

\log_{2} (8 \times 4) = \log_{2} 32 = 5

(

2^{5} = 32

이므로) 두 계산이 같다. 이유를 지수 쪽에서 보면 더 분명해진다.

8 = 2^{3}

4 = 2^{2}

이므로

8 \times 4 = 2^{3} \times 2^{2} = 2^{3 + 2} = 2^{5}

다. 곱셈이 지수의 덧셈으로 바뀌므로, 이를 거꾸로 읽는 로그에서는 곱이 덧셈으로 바뀐다. 여기서 중요한 것은 이 성질이 언제나 성립하는 것이 아니라, 진수가 모두 양수일 때만 쓸 수 있다는 점이다.

M > 0

N > 0

일 때만

\log_{a} (M N) = \log_{a} M + \log_{a} N

이라고 쓸 수 있다. 즉 "곱이 덧셈으로 바뀐다"는 관찰은 결과도 규칙이지만, 조건이 먼저다.

\log_{2} (8 + 4)

는

\log_{2} 8 + \log_{2} 4

로 나눌 수 없다. 덧셈은 로그에서도 덧셈으로 남는다.

로그는 지수의 역연산이며, 곱셈은 덧셈으로, 나눗셈은 뺄셈으로 바뀐다. 단 진수는 양수여야 한다.

로그와 지수의 관계

아래에서 밑을 바꿔 보며, 로그가 지수를 거꾸로 읽는 값이라는 점을 확인해 보자. 예를 들어

\log_{2} 8 = 3

은 2를 3번 곱하면 8이 된다는 뜻이다. 이처럼 로그는 ‘몇 제곱하면 그 수가 되는가’를 나타낸다.

그래프 조작지수함수와 로그함수가 서로 역함수 관계인 것을 본다.

파랑 y = 2^x · 빨강 y = log₂ x
2^1 = 2.00 이므로 log₂ 2.00 = 1

두 곡선이 점선 y = x에 대해 대칭이다. 로그함수가 x > 0에서만 그려지는 이유는 지수함수의 값이 항상 양수이기 때문이다.

이 차시와 같은 개념을 쓰는 추가 문항 5개다. 유형과 난이도가 섞여 있다.

입문기본예상 1분

\log_{3} 1

의 값을 구하시오.

기본적용예상 2분

\log_{2} 32 - \log_{2} 4

의 값을 로그의 나눗셈 성질로 구하시오.

심화오답률상위적용예상 2분

\log_{2} (x - 3)

이 정의되려면

x

의 범위를 구하시오.

기본예상 2분

\log_{3} 9 + \log_{3} 3

의 값을 구하시오.

입문기본예상 1분

\log_{7} 7

의 값을 구하시오.