극한연속함수
함수의 극한 개념
함수의 극한 의미를 이해하고, 간단한 극한값을 구할 수 있다.
선행:고1 수학
가 어떤 값 에 가까워질 때 가 어떤 값 에 가까워지면,
이라고 한다.
이때 중요한 것은 에서의 함수값이 아니라 에 가까워질 때의 경향이다.
, 이고 두 극한이 모두 존재할 때
(단, )
다항함수는 모든 점에서 연속이므로 로 그냥 대입하면 된다.
주의할 점은 이 성질들이 **각 극한이 존재할 때만** 쓸 수 있다는 것이다.
이나 꼴이 나오면 식을 먼저 변형해야 한다.
의 값을 구하시오.
극한은 "에서의 값"이 아니라 "에 가까워질 때의 경향"이다.
이 둘이 어긋나는 예를 보면 차이가 분명해진다.
**에서 **
을 넣으면 으로 값이 없다. 이 함수는 에서 정의되지 않는다.
하지만 인 곳에서는 약분이 된다.
x가 1에 가까워질 때 값은 2에 가까워지므로 극한은 2다.
**함숫값은 없는데 극한값은 있다.**
그림으로는 직선 에서 한 점만 뚫려 있는 모양이다.
극한은 그 뚫린 구멍을 "메운다면 얼마여야 하는가"를 묻는 것과 같다.
반대 경우도 있다. 에서 값을 5로 따로 정의해 두면
함숫값은 5인데 극한값은 여전히 2다.
극한이 에서의 값을 **보지 않는** 이유가 여기 있다.
가까워지는 과정만 보기 때문에 그 점 하나를 어떻게 정하든 극한은 바뀌지 않는다.
역은 성립하지 않는다. 극한값이 존재해도 그 점에서 연속이라는 보장은 없다. 연속이려면 함숫값이 존재하고 극한값과 같아야 한다.
그냥 대입해도 되는지, 식을 먼저 고쳐야 하는지 구분하는 연습이다.
이 차시와 같은 개념을 쓰는 추가 문항 5개다. 유형과 난이도가 섞여 있다.
- 극한은 x = a에서의 값이 아니라 a에 가까워질 때의 경향이다.
- 다항함수처럼 연속인 함수는 대입해서 구한다.
- 0/0 꼴이면 인수분해·약분 등으로 식을 먼저 고친 뒤 대입한다.
- 극한값이 있어도 그 점에서 연속이라는 뜻은 아니다.
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