수학II적분1 / 2 차시

적분부정적분미분과의 관계

부정적분과 미분과의 관계

부정적분을 미분과의 관계로 이해하고, 간단한 함수의 부정적분을 구할 수 있다.

어떤 함수

f (x)

를 미분해서

F' (x) = f (x)

가 되는

F (x)

를

f (x)

의 부정적분이라고 하고, 미분과 적분이 서로 역연산 관계이며 부정적분에는 적분상수

C

가 붙는다.

x^{n}

의 부정적분은

(1 / (n + 1)) x^{n + 1} + C

(

n \neq - 1

)이다. 이 공식은 미분 공식을 거꾸로 생각한 것이다.

f (x) = 3 x^{2}

의 부정적분을 구하시오.

기본예상 2분

f (x) = 3 x^{2}

의 부정적분을 구하시오.

다음 함수의 부정적분을 구하시오.

기본예상 2분

f (x) = 6 x

의 부정적분을 구하시오.

입문기본예상 1분

f (x) = 4

의 부정적분을 구하시오.

어떤 함수를 미분해서

f (x)

가 되는 함수를 찾는 것이 부정적분이다. 예를 들어

f (x) = 2 x

라면, 미분해서

2 x

가 되는 함수는

x^{2} + C

이고, 여기서

C

가 붙는 이유는 상수함수를 미분하면 0이 되어 사라지기 때문이다. 따라서 부정적분과 미분은 서로 반대 방향으로 계산할 수 있다.

완전한 역연산은 아니다. 미분한 뒤 적분하면 원래 함수로 정확히 돌아오지 않고 상수만큼의 차이가 남는다. 적분한 뒤 미분하면 원래대로 돌아온다. 한쪽 방향에서만 정보가 사라진다.

부정적분은 미분과의 관계 속에서 이해하며, 적분상수가 붙는 이유를 함께 본다.

부정적분과 넓이 느낌

아래에서 직사각형 개수를 바꾸며, 곡선과 가로축 사이의 넓이를 직사각형으로 근사하는 느낌을 확인해 보자. 부정적분은 ‘미분의 역’이지만, 동시에 넓이의 누적과도 연결된다. 이 시뮬은 그 연결의 첫 감각을 잡는 용도다.

넓이 근사부정적분과 넓이 근사의 연결을 확인한다.

직사각형 개수6

f(x) = x² · 구간 [0, 3]
근사값 8.9375 · 정확한 값 9.0000 · 오차 0.0625

사각형을 늘릴수록 오차가 줄어든다. 이 극한이 정적분이다.

이 차시와 같은 개념을 쓰는 추가 문항 5개다. 유형과 난이도가 섞여 있다.

심화오답률상위적용예상 4분

f' (x) = 6 x - 2

이고

f (1) = 5

일 때,

f (3)

의 값을 구하시오.

기본적용예상 2분

f (x) = 4 x^{3} - 2 x

의 부정적분을 구하시오.

심화오답률상위서술예상 2분

F (x) = x^{3} - 5 x

가

f (x) = 3 x^{2} - 5

의 한 부정적분인지 판별하고 이유를 설명하시오.

입문기본예상 2분

f (x) = 5 x^{4}

의 부정적분을 구하시오.

심화오답률상위적용예상 3분

F' (x) = 6 x^{2} - 4

이고

F (1) = 5

일 때,

F (x)

를 구하시오.