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수학 학습
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연속극한함숫값

함수의 연속

함수가 한 점에서 연속이라는 조건 세 가지를 이해하고, 연속 여부를 판정할 수 있다.

선행:함수의 극한 개념
함수 f(x)가 x=a에서 연속이라는 것은, 그래프가 x=a 부근에서 끊어지지 않는다는 뜻이다. 이를 식으로 확인하려면 세 가지를 모두 봐야 한다. ① f(a)가 존재한다. ② limx→af(x)가 존재한다. ③ 그 둘이 같다.
함수 f(x)가 x=a에서 연속이려면 f(a)가 존재,limx→af(x)가 존재,limx→af(x)=f(a) 세 조건이 모두 성립해야 한다. 하나라도 어긋나면 불연속이다. 다항함수는 정의역의 모든 점에서 이 세 조건을 항상 만족하므로 모든 점에서 연속이다.
f(x)=x2+1이 x=2에서 연속인지 판정하시오.
기본예상 2분
f(x)=x2+1이 x=2에서 연속인지 판정하려 한다. 다음 중 옳은 판단과 근거를 고르시오.
극한값이 있다고 늘 연속인 것은 아니다. 세 조건 중 어느 것이 깨지는지 구체적인 예로 나눠 보자. **경우 1. 함숫값이 극한값과 다르게 따로 정의된 경우** f(x)=x+1(x≠2),f(2)=5 limx→2f(x)=3이고 f(2)=5다. 둘 다 존재하지만 3≠5이므로 조건 ③이 깨져 x=2에서 불연속이다. 그래프로는 (2,3)에 뚫린 구멍이 있고, 그 위쪽 (2,5)에 점 하나가 따로 찍혀 있는 모양이다. **경우 2. 함숫값 자체가 없는 경우** f(x)=(x2−4)/(x−2)(x≠2) 이 함수는 x=2에서 정의되지 않는다. limx→2f(x)=4는 존재하지만 f(2) 자체가 없으므로 조건 ①이 깨져 불연속이다. 두 경우 모두 극한값(조건 ②)은 존재한다는 공통점이 있다. '극한값이 있으니 연속'이라고 성급히 결론 내리면 조건 ①과 ③을 확인하지 않고 넘어가게 된다. 연속을 판정할 때는 세 조건을 하나씩 순서대로 확인하는 습관이 필요하다.
다항함수·유리함수(분모가 0이 아닌 구간)처럼 식이 간단한 함수는 대입만으로 세 조건이 자동으로 맞는 경우가 많다. 문제는 조각마다 다르게 정의되거나 분모가 0이 되는 점이다.
주어진 함수가 특정 점에서 연속인지, 어느 조건이 깨지는지 확인해 보자.
기본적용예상 2분
f(x)=2x (x≠1), f(1)=10일 때, f가 x=1에서 연속인지 판정하려 한다. 다음 중 옳은 판단과 근거를 고르시오.
심화적용함정오답률상위서술예상 3분
f(x)=(x2−9)/(x−3) (x≠3)일 때, f가 x=3에서 연속인지 판정하고 이유를 설명하시오.
이 차시와 같은 개념을 쓰는 추가 문항 5개다. 유형과 난이도가 섞여 있다.
입문개념확인예상 1분
f(x)=x3−2x+1이 x=−5에서 연속인지 판정하려 한다. 다음 중 옳은 판단과 근거를 고르시오.
기본개념확인예상 2분
f(x)=x3−x−1이 연속함수이고 f(1)=−1<0, f(2)=5>0일 때, 구간 (1,2)에서 f(x)=0인 실근이 존재하는지 판별하시오.
심화오답률상위적용예상 3분
함수 f(x)가 x≠2일 때 f(x)=x+3이고 f(2)=a로 정의된다. f가 x=2에서 연속이 되도록 하는 a의 값을 구하시오.
입문개념확인예상 2분
함수 f, g가 모두 실수 전체에서 연속일 때, 합성함수 (f∘g)(x)도 항상 연속인가?
심화오답률상위개념확인예상 3분
함수 f가 구간 [1,3]에서 연속이고 f(1)=−2, f(3)=4일 때, 이 구간에서 f(x)=1을 만족하는 x가 존재하는지 판별하시오.
함수 f가 x=a에서 연속이려면 f(a)의 존재, limx→af(x)의 존재, 그리고 둘이 같음이 모두 필요하다. 극한값이 존재한다고 자동으로 연속인 것은 아니며, 함숫값이 다르게 정의되었거나 아예 없으면 불연속이다.
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