정적분넓이미적분의 기본정리
정적분과 넓이
정적분의 값을 부정적분으로 구하고, 정적분과 도형의 넓이 사이의 관계를 이해한다.
함수 의 부정적분 중 하나를 라 할 때, 에서 까지의 정적분은
로 계산한다. 부정적분과 달리 정적분의 결과는 가 없는 하나의 값이다. 가 에서 서로 상쇄되기 때문이다.
구간 에서 이면, 곡선 와 x축, 두 직선 , 로 둘러싸인 도형의 넓이는
와 같다. 다만 이 관계는 인 구간에서만 그대로 성립한다.
의 값을 구하시오.
정적분과 넓이가 늘 같은 값이라고 여기기 쉽지만, 함수가 x축 아래로 내려가면 둘이 갈라진다.
를 부터 까지 정적분해 보자.
이제 실제 넓이를 구해 보자. 에서는 이라 그래프가 x축 아래에 있다.
· 부터 까지: 밑변 1, 높이 1인 직각삼각형, 넓이
· 부터 까지: 밑변 2, 높이 2인 직각삼각형, 넓이
실제 도형의 넓이 합은 다.
정적분 값 와 실제 넓이 가 다르다. 이유는 x축 아래 부분의 정적분이 음수()로 계산되어 위쪽 넓이()에서 그만큼을 빼기 때문이다.
정적분은 부호가 있는 값을 더하고, 넓이는 부호와 상관없이 항상 양수인 크기를 더한다.
x축 아래 구간이 섞인 도형의 넓이를 구하려면, x축과 만나는 점에서 구간을 나눈 뒤 각 구간의 정적분에 절댓값을 씌워 더해야 한다.
f(x) ≥ 0인 구간에서만 '정적분 = 넓이'가 그대로 성립한다. 부호가 바뀌는 구간이 있으면 그 지점에서 나눠 각각 절댓값을 취한 뒤 더한다.
정적분 값을 구하는 문제와, 넓이를 구할 때 구간을 나눠야 하는 문제를 풀어 보자.
이 차시와 같은 개념을 쓰는 추가 문항 5개다. 유형과 난이도가 섞여 있다.
정적분은 로 계산하며, C 없이 하나의 값으로 정해진다.
인 구간에서는 정적분이 곧 넓이다.
함수가 x축 아래로 내려가면 정적분은 음수가 되어 넓이와 달라지므로, 넓이를 구할 때는 구간을 나눠 절댓값을 취해 더한다.