도함수증가감소극값
도함수의 활용: 증가·감소와 극대·극소
도함수의 부호로 함수의 증가·감소를 판정하고, 극값을 구할 수 있다.
어떤 구간에서 이면 그 구간에서 는 증가하고, 이면 감소한다.
접선의 기울기가 양수인 곳에서는 그래프가 오른쪽으로 갈수록 올라가고, 음수인 곳에서는 내려간다는 뜻이다.
이고 의 좌우에서 의 부호가 바뀌면, 에서 극값을 갖는다.
· 에서 로 바뀌면 극댓값
· 에서 로 바뀌면 극솟값
은 극값의 **후보**를 찾는 조건일 뿐, 그 자체가 극값을 보장하지는 않는다. 부호가 실제로 바뀌는지 반드시 확인해야 한다.
에서 를 구하고, 에서 함수가 증가하는지 감소하는지 판정하시오.
'이면 그 점에서 극값을 갖는다'는 말은 조건의 절반만 맞다. 부호가 바뀌는지까지 확인해야 완전하다.
을 보자. 도함수는
이므로 극값 후보이기는 하다. 그런데 의 좌우에서 부호를 확인하면
부호가 음수에서 양수로도, 양수에서 음수로도 바뀌지 않는다. 양쪽 모두 양수로 그대로다.
이므로 은 을 제외하면 항상 양수이고, 부호 자체가 바뀔 일이 없다.
그래프로 보면 은 에서 기울기가 잠깐 0이 될 뿐, 그 앞뒤로 계속 증가한다. 평평해지는 순간이 있을 뿐 방향은 바뀌지 않는다.
따라서 은 을 만족하지만 극값이 아니다.
극값을 확정하려면 을 찾는 것과, 그 앞뒤에서 부호가 실제로 바뀌는지 확인하는 것, 이 두 단계가 모두 필요하다.
부호가 안 바뀌고 그대로 유지되는 점을 변곡점이라고 부른다(고3에서 자세히 다룬다). 극값과 혼동하지 않도록 부호표를 직접 그려 확인하는 습관이 안전하다.
도함수의 부호를 이용해 함수의 증가·감소와 극값을 구해 보자.
이 차시와 같은 개념을 쓰는 추가 문항 5개다. 유형과 난이도가 섞여 있다.
인 구간에서 는 증가하고, 인 구간에서 감소한다.
은 극값의 후보일 뿐이며, 의 좌우에서 의 부호가 실제로 바뀌어야 극값이 확정된다.
부호가 바뀌지 않으면(의 처럼) 극값이 아니다.