확률과 통계경우의 수1 / 2 차시

순열경우의 수

순열

서로 다른 n개에서 r개를 뽑아 순서대로 나열하는 순열의 수를 구할 수 있다.

서로 다른

n

개에서

r

개(

r \leq n

)를 뽑아 순서를 정해 일렬로 나열하는 것을 순열이라고 하고, 그 경우의 수를

n P r

로 나타낸다. 예를 들어 A, B, C 세 명 중 2명을 뽑아 반장, 부반장 순서로 세우는 방법의 수가 순열이다. 반장에 A, 부반장에 B를 뽑는 것과 반장에 B, 부반장에 A를 뽑는 것은 서로 다른 경우로 센다 — 순서가 다르기 때문이다.

n P r = n \times (n - 1) \times (n - 2) \times \dots \times (n - r + 1) = \frac{n!}{(n - r)!}

여기서

n! = n \times (n - 1) \times \dots \times 2 \times 1

이고,

0! = 1

로 약속한다.

첫 자리부터 순서대로 채운다고 생각하면 첫 자리는 n가지, 둘째 자리는 하나 줄어든 (n-1)가지, ... 이렇게 r개의 자리를 채우는 곱이 nPr이다.

순열과 조합의 수 비교하기

n과 r을 움직이며 같은 대상을 뽑아도 순서를 고려하는지에 따라 경우의 수가 어떻게 달라지는지 확인해 보자. 순열의 수와 조합의 수를 함께 비교하며 순서가 결과에 미치는 영향을 살펴본다.

비교n과 r을 움직이며 같은 대상을 뽑아도 순서를 세면 순열이 조합보다 r!배 많아지는 모습을 본다.

순열 ₙPᵣ · 순서 구분

조합 ₙCᵣ · 순서 무시

5P3 = 60 = 5C3 × 3! = 10 × 6

두 값의 비가 항상 r!인 이유는, 뽑은 r개를 늘어놓는 방법이 r!가지이기 때문이다.

5명의 학생 중 3명을 뽑아 1등, 2등, 3등으로 순서를 매기는 방법의 수를 구한다.

입문기본예상 1분

5명의 학생 중 3명을 뽑아 1등, 2등, 3등으로 순서를 매기는 방법의 수를 구하시오.

5명 중 3명을 뽑아 순서대로 세우는 경우의 수를 두 가지 방법으로 구해 보자. 방법 1 (자리를 채워 나가기): 첫 자리는 5명 중 아무나 5가지, 둘째 자리는 남은 4명 중 4가지, 셋째 자리는 남은 3명 중 3가지다. 그래서

5 \times 4 \times 3 = 60

가지다. 방법 2 (공식 그대로):

5 P 3 = \frac{5!}{(5 - 3)!} = \frac{5!}{2!} = \frac{120}{2} = 60

이다. 두 방법이 같은 이유는,

5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1

에서 뒤에 남는

2 \times 1

(즉

2! = (5 - 3)!

)이 애초에 뽑지 않은 나머지 2명을 세워 나가는 부분이기 때문이다.

(n - r)!

로 나누는 것은 이 "뽑지 않은 나머지를 세우는 경우의 수"를 지워, 실제로 뽑은 r명만 순서대로 세우는 경우만 남기는 셈이다.

nPr은 n!에서 뽑지 않은 (n-r)명을 세우는 경우의 수만큼을 나눈 값이다. 공식만 외우면 왜 꼭 (n-r)!로 나누는지 놓치기 쉽다.

자리를 채워 나가는 방식과 공식 두 가지로 각각 구해 같은 값이 나오는지 확인해 본다.

기본적용예상 2분

7명의 후보 중 회장, 부회장을 각각 1명씩 뽑는 방법의 수를 구하시오.

심화오답률상위예상 2분

6개의 문자 A, B, C, D, E, F 중 4개를 뽑아 한 줄로 나열하는 방법의 수를 구하시오.

이 차시와 같은 개념을 쓰는 추가 문항 5개다. 유형과 난이도가 섞여 있다.

입문기본예상 1분

서로 다른 색 구슬 4개를 일렬로 나열하는 방법의 수를 구하시오.

기본적용예상 2분

A, B를 포함한 5명을 일렬로 세울 때, A와 B가 이웃하도록 세우는 방법의 수를 구하시오.

심화오답률상위적용예상 3분

0, 1, 2, 3, 4 다섯 개의 숫자를 한 번씩만 사용해 만들 수 있는 세 자리 자연수의 개수를 구하시오.

기본예상 2분

8명의 학생 중 4명을 뽑아 한 줄로 세우는 방법의 수를 구하시오.

심화오답률상위예상 3분

남학생 3명과 여학생 2명이 일렬로 설 때, 여학생 2명이 이웃하게 서는 경우의 수를 구하시오.

순열은 서로 다른 n개에서 r개를 뽑아 "순서를 정해" 나열하는 경우의 수이고,

n P r = n! / (n - r)!

이다. 첫 자리부터 하나씩 채워 나가는 곱셈으로도 같은 값을 구할 수 있다:

n \times (n - 1) \times \dots \times (n - r + 1)

. 문제에 순서(등수, 자리, 직책 등)가 있는지부터 확인하고 순열 공식을 적용한다.

다음: 조합