확률표본공간사건
확률의 뜻과 기본 성질
확률실험에서 표본공간과 사건의 뜻을 이해하고, 기본 성질을 다룰 수 있다.
확률실험에서 일어날 수 있는 모든 결과의 집합을 표본공간 라고 하고,
표본공간의 부분집합을 사건이라고 한다.
사건이 집합이라는 점이 중요하다. 집합이므로 합집합·교집합·여집합을 그대로 쓸 수 있고,
'A 또는 B', 'A 그리고 B', 'A가 아님'이 각각 , , 에 대응한다.
주사위 한 개를 던지는 시행에서
이고, '짝수가 나온다'는 사건은 이다.
같은 시행이라도 무엇을 결과로 볼지 정하는 방식에 따라 표본공간이 달라진다는 점에 주의한다.
표본공간을 먼저 분명히 정하지 않으면 분모가 흔들려 확률이 달라진다.
모든 근원사건이 같은 정도로 기대될 때
= (사건 A의 원소 개수) / (표본공간 S의 원소 개수)
여기서 다음이 따라 나온다.
마지막 식에서 를 빼는 이유는 두 사건에 함께 들어 있는 결과를 두 번 세었기 때문이다.
서로 배반()일 때만 그냥 더할 수 있다.
주사위 2개를 던질 때 두 눈의 합이 3의 배수일 확률을 구하시오.
확률의 기본 성질을 이용한 기본 문항을 풀어 보자.
주사위 두 개를 던져 눈의 합을 볼 때, 표본공간을 어떻게 잡느냐로 답이 갈린다.
합만 보고 S = {2, 3, ..., 12}로 잡으면 원소는 11개다.
이때 '합이 7'의 확률을 1/11로 계산하면 틀린다. 합이 2가 되는 경우는 (1,1) 하나뿐이지만
합이 7이 되는 경우는 (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)로 여섯 가지여서
각 원소가 같은 정도로 기대되지 않기 때문이다.
두 눈의 순서쌍으로 S를 잡으면 원소가 36개이고 각각이 같은 정도로 기대된다.
그래서 P(합이 7) = 6/36 = 1/6이 된다.
경우의 수를 세기 전에 "이 표본공간의 원소들이 정말 같은 정도로 기대되는가"를 먼저 확인해야 한다.
표본공간을 먼저 확정하지 않으면 '같은 조건에서 비교'가 아니라 '다른 조건끼리 비교'하게 된다.
주사위 2개를 던질 때 합의 분포와, 지금 차시에서 다루지 않은 확률 규칙을 바로 연결하지 않도록 조심한다.
사건의 확률을 구하려면 먼저 그 사건이 어떤 표본공간 위에서 정의되어 있는지부터 고정해야 한다.
두 표본공간이 다르면 확률값도 다른 조건에서 나온 값이다. 같은 조건에서 비교하려면 표본공간을 통일한다.
- 표본공간은 일어날 수 있는 모든 결과의 집합, 사건은 그 부분집합이다.
- 사건은 집합이므로 여사건은 여집합, '또는'은 합집합에 대응한다.
- . 겹치는 부분을 두 번 세지 않는다.
- 확률을 구하기 전에 표본공간을 먼저 확정한다.
이 차시와 같은 개념을 쓰는 추가 문항 5개다. 유형과 난이도가 섞여 있다.
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