이항분포정규분포표준화분산표준편차
이항분포와 정규분포
이항분포의 평균·분산·표준편차를 구하고, 정규분포를 표준화해 확률을 비교할 수 있다.
한 번의 시행에서 성공확률이 로 일정한 시행을 번 독립적으로 반복할 때, 성공 횟수 가 따르는 확률분포를 이항분포라고 하며 로 나타낸다.
이 충분히 크면 이항분포는 좌우대칭인 종 모양의 정규분포에 가까워진다. 정규분포는 평균 와 표준편차 로 그 모양이 정해진다.
일 때
정규분포를 따르는 를 다른 정규분포와 비교하려면 표준화한다.는 평균 0, 표준편차 1인 표준정규분포를 따른다.
분산 V(X)는 편차 제곱의 평균이라 흩어진 정도를 나타내고, 표준편차는 분산에 제곱근을 씌워 원래 자료와 같은 단위로 되돌린 값이다.
일 때 , , 를 구한다.
수학 시험 A는 평균 70점, 표준편차 10점이고, 수학 시험 B는 평균 70점, 표준편차 5점이다. 민수는 시험 A에서 85점을, 지우는 시험 B에서 80점을 받았다.
원점수만 보면 민수(85점)가 지우(80점)보다 높다. 하지만 두 시험의 표준편차(점수가 흩어진 정도)가 다르므로, 원점수만으로는 "누가 상대적으로 더 잘했는가"를 비교할 수 없다.
각자의 점수를 표준화(Z점수)해 보자.
민수: — 평균보다 표준편차 1.5배 위.
지우: — 평균보다 표준편차 2배 위.
지우의 Z점수가 더 크므로, 지우가 자기 시험 집단 안에서는 민수보다 더 상위에 위치한 것이다.
원점수가 낮아도 그 시험의 흩어진 정도(표준편차)가 작으면, 평균에서 조금만 벗어나도 상대적으로 큰 차이가 된다.
표준편차가 다른 두 집단은 원점수를 그대로 비교할 수 없다. Z = (X-μ)/σ로 표준화해야 같은 기준으로 비교된다.
평균과 표준편차가 다른 두 값을 비교할 때는 원점수가 아니라 표준화한 Z값으로 비교한다.
이 차시와 같은 개념을 쓰는 추가 문항 5개다. 유형과 난이도가 섞여 있다.
이항분포 의 평균은 , 분산은 , 표준편차는 다.
정규분포를 따르는 두 값을 비교할 때는 원점수가 아니라 로 표준화한 값을 비교해야 한다.
평균이 같아도 표준편차가 다르면 같은 원점수 차이가 다른 의미를 가진다는 것을 기억한다.