조합경우의 수
조합
서로 다른 n개에서 순서 없이 r개를 뽑는 조합의 수를 구하고, 순열과 구분해 쓸 수 있다.
서로 다른 개에서 순서를 따지지 않고 개를 뽑는 것을 조합이라고 하고, 그 경우의 수를 로 나타낸다.
A, B, C 세 명 중 2명을 대표로 뽑는다면 {A, B}를 뽑는 것과 {B, A}를 뽑는 것은 같은 결과다 — 대표로 누가 뽑혔는지만 중요하고 순서는 의미가 없기 때문이다.
순열의 수를 로 나누는 것은, 뽑은 r개를 나열하는 순서의 가짓수()만큼 중복해서 세었기 때문이다.
nCr = nC(n-r)이 항상 성립한다 — r개를 뽑는 것은 뽑지 않는 (n-r)개를 정하는 것과 같은 경우의 수이기 때문이다.
5명의 학생 중 대표 3명을 뽑는 방법의 수를 구한다. (순서는 상관없다)
A, B, C, D, E 5명 중 3명을 뽑는 경우를 생각하자. 순열로 세면 가지, 조합으로 세면 가지다.
왜 60이 아니라 10일까. {A, B, C}라는 하나의 조합을 예로 들어 보자.
이 3명을 순서대로 세우는 방법은 ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA로 가지다.
즉 순열에서는 같은 3명이라도 순서가 다르면 6번을 서로 다른 경우로 센다.
그런데 조합에서는 "누가 뽑혔는가"만 보므로 이 6가지가 전부 같은 하나의 결과 {A, B, C}로 합쳐진다.
다른 조합들(예: {A, B, D})도 마찬가지로 각각 6가지씩 순열에 겹쳐 있으므로, 순열의 수를 으로 나누면 중복 없이 조합의 수만 남는다.
으로 실제 계산과 일치한다.
순열의 수를 r!로 나누는 것은 같은 조합 안에서 순서만 다른 경우들을 하나로 합치는 과정이다. 이 나눗셈을 생략하면 같은 대상을 여러 번 세게 된다.
문제에 순서가 필요한지(순열) 아닌지(조합)를 먼저 판단한 뒤 공식을 적용한다.
이 차시와 같은 개념을 쓰는 추가 문항 5개다. 유형과 난이도가 섞여 있다.
조합은 순서를 따지지 않고 r개를 뽑는 경우의 수이고, 이다.
순열의 수를 로 나누는 이유는, 뽑힌 r개를 나열하는 가지 순서가 조합에서는 모두 같은 하나의 경우이기 때문이다.
문제를 풀기 전 "순서가 결과를 다르게 만드는가"를 먼저 확인해 순열·조합을 구분한다.