신뢰구간모평균 추정
모평균의 추정
표본평균과 표본의 크기를 이용해 모평균의 신뢰구간을 구할 수 있다.
표본평균 은 모평균 과 정확히 같지는 않지만, 을 이용해 이 있을 것으로 기대되는 구간을 추정할 수 있다. 이 구간을 신뢰구간이라 하고, 그 구간이 실제로 모평균을 포함할 확률을 신뢰도라고 한다.
신뢰도가 높을수록(예: 99%) 구간은 넓어지고, 낮을수록(예: 90%) 구간은 좁아진다.
모표준편차가 , 표본의 크기가 , 표본평균이 일 때 모평균 에 대한 신뢰구간은
신뢰도 95%:
신뢰도 99%:
1.96, 2.58은 표준정규분포에서 각각 95%, 99% 신뢰도에 대응하는 상수(임계값)다.
표본평균 50, 모표준편차 8, 표본 크기 64일 때 모평균의 95% 신뢰구간을 구한다.
표본평균 50, 모표준편차 8, 표본 크기 64로 같은 자료에서 신뢰도 95%와 99% 신뢰구간을 비교해 보자.
95%: 즉
99%: 즉
신뢰도 99% 구간이 95% 구간보다 더 넓다. "신뢰도가 높으니 더 정확한 추정"이라고 생각하기 쉽지만, 정확히 반대로 구간이 넓어져 "이 정도 넓은 범위 안에 있다"는 정보만 준다.
신뢰도를 높이면 그 구간이 실제로 모평균을 포함할 가능성은 커지지만, 구간 자체는 넓어져 추정의 정밀도(범위를 얼마나 좁게 좁혔는가)는 떨어진다.
반대로 표본 크기 을 늘리면 이 작아져, 신뢰도를 유지하면서도 구간을 좁힐 수 있다.
신뢰도를 높이면 구간은 넓어진다(정밀도 하락). 신뢰도를 유지하면서 구간을 좁히려면 신뢰도가 아니라 표본 크기를 늘려야 한다.
신뢰도가 바뀌면 임계값(1.96, 2.58)이, 표본 크기가 바뀌면 σ/√n이 바뀐다는 것을 구분해 계산한다.
이 차시와 같은 개념을 쓰는 추가 문항 5개다. 유형과 난이도가 섞여 있다.
모평균의 신뢰구간은 꼴이며, 95%는 1.96, 99%는 2.58을 쓴다.
신뢰도를 높이면 구간이 넓어져 정밀도는 오히려 떨어지고, 신뢰도를 유지하면서 구간을 좁히려면 표본 크기 을 늘려야 한다.
구간을 구한 뒤에는 표본평균이 그 구간의 정가운데에 있는지(대칭인지) 확인해 계산 실수를 검산한다.