모집단표본표본평균표본분포
모집단과 표본, 표본평균의 분포
모집단과 표본의 관계를 이해하고, 표본평균의 분포와 그 평균·표준편차를 구할 수 있다.
선행:이항분포와 정규분포
조사하고자 하는 대상 전체를 모집단, 그중 일부를 뽑아낸 것을 표본이라고 한다. 표본을 뽑는 것을 표본추출이라 하고, 모집단의 각 대상이 뽑힐 가능성이 같도록 뽑는 것을 임의추출(random sampling)이라고 한다.
모집단 전체를 조사하기 어려울 때, 표본을 조사해 모집단의 특징(모평균, 모표준편차 등)을 추정한다.
모평균이 , 모표준편차가 인 모집단에서 크기 인 표본을 임의추출할 때, 표본평균을 으로 나타내면
을 만족한다. 표본의 크기 이 커질수록 표본평균의 표준편차는 작아져, 표본평균이 모평균 주변에 더 가깝게 모인다.
표본평균의 평균은 표본 크기와 관계없이 모평균과 같다. 흩어진 정도(표준편차)만 표본 크기가 커질수록 줄어든다.
모평균 50, 모표준편차 12인 모집단에서 크기 36인 표본을 뽑을 때, 표본평균의 평균과 표준편차를 구한다.
모표준편차가 인 모집단에서 표본 크기를 , , 으로 바꿔가며 표본평균의 표준편차 을 비교해 보자.
일 때:
일 때:
일 때:
표본 크기가 4배(4→16)로 늘었을 때 표준편차는 절반(10→5)으로, 다시 표본 크기가 약 6배(16→100)로 늘었을 때 표준편차는 다시 절반 이하(5→2)로 줄었다.
표본 크기를 2배로 늘려도 표준편차는 절반이 되지 않고 배(약 0.71배)로만 줄어든다 — 분모에 이 있기 때문이다.
그래서 "표본을 늘리면 정확도가 그만큼 좋아진다"는 것은 맞지만, 표본 크기와 정확도 개선이 비례하는 것은 아니다. 표본을 4배로 늘려야 표준편차가 절반으로 줄어든다.
표본평균의 표준편차는 표본 크기 n이 아니라 √n에 반비례한다. n을 2배로 늘려도 정확도는 절반이 아니라 약 0.71배로만 개선된다.
표본 크기가 바뀔 때 표본평균의 평균은 그대로이고 표준편차만 √n에 반비례해 바뀐다는 점에 주의해 계산한다.
이 차시와 같은 개념을 쓰는 추가 문항 5개다. 유형과 난이도가 섞여 있다.
모집단에서 임의추출한 표본의 표본평균 은 (모평균과 같음), 을 만족한다.
표본 크기 이 커질수록 표본평균은 모평균 주변에 더 가깝게 모이지만, 그 정확도 개선은 이 아니라 에 비례한다.
표본평균의 평균이 표본 크기와 무관하게 항상 모평균과 같다는 조건을 놓치지 않는다.
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