확률과 통계확률변수와 분포1 / 2 차시

확률변수확률분포기댓값

확률변수와 확률분포, 기댓값

이산확률변수의 확률분포를 표로 나타내고, 기댓값을 구할 수 있다.

시행의 결과 하나하나에 수를 대응시키는 것을 확률변수라고 한다. 예를 들어 동전 3개를 던져 나오는 앞면의 개수를

X

라 하면,

X

는 0, 1, 2, 3 중 하나의 값을 갖는다. 확률변수

X

가 가질 수 있는 각 값과 그 값이 나올 확률을 짝지어 나타낸 것을 확률분포라고 한다. 모든 확률을 더하면 항상 1이다.

확률변수

X

가

x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}

의 값을 가지며 각각의 확률이

p_{1}, p_{2}, \dots, p_{n}

일 때, 기댓값

E (X)

는

E (X) = x_{1} p_{1} + x_{2} p_{2} + \dots + x_{n} p_{n}

으로 정의한다. 기댓값은 이 확률변수를 아주 여러 번 반복했을 때 나오는 값들의 평균이 가까워지는 값이다.

기댓값은 확률변수가 실제로 가질 수 있는 값이 아니어도 된다. '평균'이지 '가장 자주 나오는 값'이 아니다.

동전 3개를 던질 때 앞면의 개수

X

의 확률분포를 표로 만들고, 기댓값을 구한다.

입문기본예상 2분

동전 3개를 동시에 던질 때 앞면이 나오는 개수를

X

라 하자.

X

의 기댓값

E (X)

를 구하시오.

주사위 한 개를 던질 때 나오는 눈

X

의 기댓값을 구해 보자.

X

는 1, 2, 3, 4, 5, 6이 각각

1 / 6

의 확률로 나오므로

E (X) = 1 \times \frac{1}{6} + 2 \times \frac{1}{6} + 3 \times \frac{1}{6} + 4 \times \frac{1}{6} + 5 \times \frac{1}{6} + 6 \times \frac{1}{6} = \frac{21}{6} = 3.5

그런데 주사위 눈에는 3.5라는 값이 없다. "기댓값은 실제로 나올 수 있는 값 중 하나"라고 생각한 학생은 이 결과를 이상하게 여긴다. 하지만 기댓값은 "한 번 던졌을 때 나올 값"을 예측하는 것이 아니라, "아주 여러 번 반복했을 때 나온 값들의 평균이 가까워지는 값"이다. 주사위를 6000번 던지면 1, 2, 3, 4, 5, 6이 대략 1000번씩 나올 것이고, 그 값들을 모두 더해 6000으로 나누면 3.5에 가까운 값이 나온다. 실제 시행 하나하나의 결과가 아니라, 반복했을 때의 평균적인 경향을 나타내는 값이 기댓값이다.

기댓값은 확률변수가 취할 수 있는 값 중 하나일 필요가 없다. '한 번의 결과'가 아니라 '반복했을 때의 평균'으로 이해해야 한다.

확률분포표를 먼저 만들고, 확률의 합이 1인지 검산한 뒤 기댓값을 구한다.

기본적용예상 1분

확률변수

X

의 확률분포가 다음과 같다:

X = 1

일 때 확률

0.2

X = 2

일 때 확률

a

X = 3

일 때 확률

0.3

. 상수

a

의 값을 구하시오.

심화오답률상위예상 2분

어떤 게임에서 이기면 1000원을 받고(확률 0.3), 지면 500원을 잃는다(확률 0.7). 이 게임을 한 번 할 때 기대할 수 있는 금액(기댓값)을 구하시오. (단위: 원)

이 차시와 같은 개념을 쓰는 추가 문항 5개다. 유형과 난이도가 섞여 있다.

입문기본예상 2분

확률변수

X

가

X = 1

일 때 확률

0.5

X = 2

일 때 확률

0.5

를 가질 때

V (X)

를 구하시오.

기본적용예상 2분

확률변수

X

의 기댓값이

E (X) = 4

일 때,

Y = 3 X + 2

의 기댓값

E (Y)

를 구하시오.

심화오답률상위적용예상 3분

확률변수

X

의 분산이

V (X) = 5

일 때,

Y = 2 X - 1

의 분산

V (Y)

를 구하시오.

기본예상 2분

확률변수

X

의 확률분포가

X = 0

일 때 확률

0.3

X = 1

일 때 확률

0.2

X = 2

일 때 확률

0.5

다.

E (X)

를 구하시오.

심화오답률상위적용예상 2분

확률변수

X

에 대해

E (4 X + 1) = 21

일 때,

E (X)

의 값을 구하시오.

확률변수는 시행의 결과에 수를 대응시킨 것이고, 확률분포는 그 값과 확률을 짝지은 것이다. 확률의 합은 항상 1이다. 기댓값

E (X) = Σ x_{i} p_{i}

는 확률변수를 여러 번 반복했을 때 값들의 평균이 가까워지는 값이며, 실제로 나올 수 있는 값이 아니어도 된다. 확률분포표를 만들면 각 확률의 합이 1인지 먼저 검산해 표가 맞는지 확인한다.