확률과 통계확률2 / 2 차시

조건부확률독립사건배반사건

조건부확률과 독립사건

조건부확률의 뜻을 이해하고, 독립사건과 배반사건을 구별할 수 있다.

사건 A가 일어났다는 것을 알고 있을 때 사건 B가 일어날 확률을 조건부확률이라 하고,

P (B | A)

로 쓴다. A가 일어났다는 정보가 표본공간을 A로 줄여, 그 안에서 B가 차지하는 비율을 구하는 것과 같다.

P (A) > 0

일 때

P (B | A) = P (A \cap B) / P (A)

이 식을

A \cap B

에 대해 정리하면 곱셈정리가 된다.

P (A \cap B) = P (A) \times P (B | A)

두 사건 A, B가 독립이라는 것은, A가 일어났다는 정보가 B의 확률에 아무 영향을 주지 않는다는 뜻이다.

P (B | A) = P (B) \Leftrightarrow P (A \cap B) = P (A) \times P (B)

P (A) = 0.6

P (B | A) = 0.5

일 때

P (A \cap B)

를 구하시오.

기본예상 2분

주머니에 빨간 공 3개, 파란 공 5개가 들어 있다. 공을 하나씩 두 번 꺼낼 때(꺼낸 공은 다시 넣지 않음), 첫 번째가 빨간 공이었을 때 두 번째도 빨간 공일 확률을 구하시오.

'독립'과 '배반'은 둘 다 "두 사건이 서로 상관없다"는 느낌을 주어 자주 헷갈린다. 그런데 정의를 수로 확인하면 정반대에 가깝다. 두 사건 A, B가 배반이고

P (A) = 0.3

P (B) = 0.4

라 하자. 배반이므로

A \cap B = \emptyset

이고, 따라서

P (A \cap B) = 0

독립의 조건은

P (A \cap B) = P (A) \times P (B)

인데, 오른쪽을 계산하면

P (A) \times P (B) = 0.3 \times 0.4 = 0.12

0 \neq 0.12

이므로 이 두 사건은 독립이 아니다. 이 결과는 우연이 아니다. A가 일어나면(P(A)=0.3인 세계) 배반인 B는 절대 일어나지 못하므로

P (B | A) = 0

이 되어 원래

P (B) = 0.4

와 완전히 달라진다. 즉 A가 일어났다는 정보가 B의 확률을 0.4에서 0으로 확 바꿔 버리므로, 이는 '아무 영향이 없다'는 독립의 정의와 정반대다.

P (A) > 0

P (B) > 0

인 두 사건이 배반이면 항상 독립이 아니다. 예외는 둘 중 하나의 확률이 0일 때뿐이다.

배반: 동시에 일어날 수 없음(

A \cap B = \emptyset

). 독립: 한쪽이 일어나도 다른 쪽 확률이 안 바뀜. 이름의 어감과 달리 서로 반대쪽에 가까운 개념이다.

조건부확률로 교집합을 구하는 문제와, 독립·배반을 구별하는 문제를 풀어 보자.

기본적용예상 1분

P (A) = 0.6

P (B | A) = 0.5

일 때

P (A \cap B)

를 구하시오.

심화적용함정오답률상위서술예상 3분

두 사건 A, B가 배반사건이고

P (A) = 0.3

P (B) = 0.4

일 때, A와 B가 독립인지 판별하고 이유를 설명하시오.

이 차시와 같은 개념을 쓰는 추가 문항 5개다. 유형과 난이도가 섞여 있다.

입문기본예상 1분

P (A) = 0.4

P (A \cap B) = 0.12

일 때

P (B | A)

를 구하시오.

기본적용예상 2분

P (A) = 0.5

P (B) = 0.4

P (A \cap B) = 0.2

일 때 A와 B가 독립인지 판별하려 한다. 다음 중 옳은 판단과 근거를 고르시오.

심화오답률상위적용예상 3분

주사위를 한 번 던질 때, 짝수가 나왔다는 조건 아래 그 수가 4의 약수일 확률을 구하시오.

입문기본예상 2분

P (A) = 0.5

P (A \cap B) = 0.2

일 때

P (B | A)

를 구하시오.

심화오답률상위예상 2분

P (A) = 0.4

P (B) = 0.5

P (A \cap B) = 0.2

일 때, 두 사건 A, B가 서로 독립인지 판별하시오.

조건부확률은

P (B | A) = P (A \cap B) / P (A)

이고, 곱셈정리는

P (A \cap B) = P (A) \times P (B | A)

다. 독립은

P (A \cap B) = P (A) \times P (B)

가 성립하는 것이고, 배반은

A \cap B = \emptyset

인 것으로 서로 다른 개념이다. 확률이 모두 양수인 두 사건이 배반이면 반드시 독립이 아니다.

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