중1 수학소인수분해와 정수와 유리수1 / 2 차시

소인수분해최대공약수최소공배수

소인수분해와 최대공약수·최소공배수

자연수를 소인수분해하고, 이를 이용해 두 수의 최대공약수와 최소공배수를 구할 수 있다.

1보다 큰 자연수 중 1과 자기 자신만을 약수로 갖는 수를 소수라고 한다. (2, 3, 5, 7, 11, ...) 1보다 크면서 소수가 아닌 자연수는 합성수라고 한다. 자연수를 소수들만의 곱으로 나타내는 것을 소인수분해라고 한다.

12 = 2 \times 2 \times 3 = 2^{2} \times 3

처럼, 더 이상 나눌 수 없는 소수의 곱으로 쪼갠다.

두 수를 각각 소인수분해한 뒤: 최대공약수(GCD) — 두 수에 공통으로 있는 소인수만 골라, 지수가 더 작은 쪽을 택해 곱한다. 최소공배수(LCM) — 두 수에 나온 모든 소인수를 골라, 지수가 더 큰 쪽을 택해 곱한다.

12 = 2^{2} \times 3

18 = 2 \times 3^{2}

이면 최대공약수는

2^{1} \times 3^{1} = 6

(공통 소인수 2, 3의 작은 지수), 최소공배수는

2^{2} \times 3^{2} = 36

(모든 소인수의 큰 지수)이다.

공통 소인수가 하나도 없으면(서로소) 최대공약수는 1이고, 최소공배수는 두 수를 그냥 곱한 값과 같다.

24 = 2^{3} \times 3

36 = 2^{2} \times 3^{2}

으로 소인수분해한 뒤 공통 소인수와 지수를 비교한다.

입문기본예상 2분

24

와

36

의 최대공약수와 최소공배수를 각각 구하시오. (최대공약수, 최소공배수 순서로 쉼표로 나열)

12 = 2^{2} \times 3

18 = 2 \times 3^{2}

의 최대공약수와 최소공배수를 구해 보자. 공통 소인수는 2와 3이다. 이때 지수를 반대로 골라 보면: - 큰 지수로 고른 경우:

2^{2} \times 3^{2} = 36

— 이건 사실 최소공배수의 값이다. - 작은 지수로 고른 경우:

2^{1} \times 3^{1} = 6

— 이건 사실 최대공약수의 값이다. 숫자만 보면 둘 다 "공통 소인수를 곱한 것"처럼 보여서 헷갈리기 쉽다. 구분하는 기준은 이것이다 — 최대공약수는 두 수 "모두를 나눌 수 있는" 수여야 하므로, 개수가 적은 쪽(작은 지수)에 맞춰야 12도 18도 나누어떨어진다. 반대로 최소공배수는 두 수 "모두의 배수"여야 하므로, 부족함이 없도록 많은 쪽(큰 지수)에 맞춰야 한다. 실제로

36 \div 12 = 3

36 \div 18 = 2

로 36은 12와 18의 배수이지만,

6

은 12를 나누지 못한다(

12 \div 6

은 나누어떨어지지만 반대로 최소공배수 자리에 6을 쓰면 6은 12의 배수가 아니라서 틀린다).

최대공약수는 작은 지수(부족한 쪽에 맞춤), 최소공배수는 큰 지수(모자람 없이 채움) — '누구를 위한 수인가'로 기억하면 반대로 고르지 않는다.

구한 최대공약수·최소공배수가 실제로 두 수를 나누는지, 두 수의 배수인지 검산까지 해 본다.

기본적용예상 2분

두 버스가 오전 9시에 같은 정류장에서 동시에 출발한다. 한 버스는 12분마다, 다른 버스는 18분마다 이 정류장을 다시 출발한다. 두 버스가 다음번에 동시에 출발하는 것은 몇 분 뒤인가?

심화오답률상위예상 2분

60

을 소인수분해했을 때, 지수가 2인 소인수를 구하시오.

이 차시와 같은 개념을 쓰는 추가 문항 5개다. 유형과 난이도가 섞여 있다.

입문기본예상 1분

45

를 소인수분해하시오. (거듭제곱 표현으로 쓰시오, 예:

2^{2} \times 3

)

기본적용예상 2분

두 자연수의 최대공약수가

8

이고 최소공배수가

96

이다. 두 자연수의 곱을 구하시오.

심화오답률상위예상 2분

세 자연수

12

18

30

의 최대공약수를 구하시오.

기본예상 2분

18

과

24

의 최대공약수를 구하시오.

기본예상 2분

세 자연수

4

6

9

의 최소공배수를 구하시오. 다음 중 옳은 값을 고르시오.

소인수분해는 자연수를 소수들만의 곱으로 나타내는 것이다. 최대공약수는 공통 소인수 중 작은 지수를 택해 곱한 값이고, 최소공배수는 공통·비공통을 가리지 않고 모든 소인수 중 큰 지수를 택해 곱한 값이다. 구한 값이 맞는지 확인하려면, 최대공약수는 두 수를 나누어떨어지게 하는지, 최소공배수는 두 수의 배수가 맞는지 직접 나눠 본다.

다음: 정수와 유리수의 사칙연산