일차방정식이항등식의 성질
일차방정식의 뜻과 푸는 순서
등식의 성질을 이용해 일차방정식을 풀고, 구한 해가 맞는지 스스로 확인할 수 있다.
등식은 두 식이 같다고 쓴 것이다.
그중 같은 문자가 들어 있고, 특정한 값일 때만 참이 되는 등식을 방정식이라고 한다.
방정식을 참으로 만드는 문자의 값을 그 방정식의 해라고 한다.
에서 을 넣으면 좌변이 11이 되어 참이다.
를 넣으면 좌변이 8이므로 거짓이다.
그래서 이 방정식의 해는 하나뿐이다.
조건과 확인 방법:
- 어떤 값이 해인지 확인하려면, 그 값을 식에 대입해 좌변과 우변이 같은지 본다.
- 방정식이 일차방정식인지 확인하려면, 정리한 뒤 x의 차수가 1인지 본다.
- 해가 맞는지 헷갈리면, 구한 값으로 원래 식을 다시 계산한다.
양변에 같은 수를 더하거나 빼도 등식은 그대로 성립한다.
양변에 0이 아닌 같은 수를 곱하거나 나누어도 등식은 그대로 성립한다.
이 두 성질만으로 방정식을 푼다.
좌변의 상수항을 없애려고 양변에서 같은 수를 빼는 것을 줄여서 '이항'이라고 부르며,
이때 항의 부호가 바뀌는 이유는 반대편으로 옮긴 것이 아니라 양변에서 같은 값을 뺐기 때문이다.
이항은 새로운 규칙이 아니라 등식의 성질을 짧게 쓴 표현이다. 이항할 때마다 '양변에 같은 수를 더하거나 뺐다'고 떠올리면 근거를 놓치지 않는다.
상수항을 먼저 정리하고, 마지막에 x의 계수로 나눈다.
방정식을 풀 때 자주 쓰는 이항은, 사실은 새 규칙이 아니다.
을 보자.
양변에서 2를 빼면 가 되고, 좌변의 는 0이 되어 만 남는다.
이렇게 해서 가 된다.
이때 우변의 2가 좌변으로 옮겨간 것처럼 보이지만, 실제로는 양변에서 같은 수를 뺀 것이다.
그래서 부호가 바뀌는 것은 "옮겼기 때문"이 아니라 "양변에서 같은 수를 뺐기 때문"이다.
이 차이를 구분해 두면, 나중에 부등식을 다룰 때도 같은 논리를 그대로 쓸 수 있다.
방정식의 핵심은 "무엇을 해도 양변은 계속 같다"는 조건을 놓치지 않는 것이다.
확인 방법:
- 임의의 일차식을 옮겨 쓰는 연습을 할 때, 옮기는 대신 "양변에서 같은 수를 빼거나 더한다"고 말한다.
- 부호만 바뀌고 항의 크기가 그대로인지 확인한다.
이항 표현을 쓸 때도 근거는 등식의 성질이다. 설명에서 근거를 생략하지 않는다.
일차방정식을 풀 때는 다음 순서로 정리한다.
1) 상수항을 한쪽으로 모은다. 보통 x항은 좌변, 상수는 우변으로 둔다.
2) x의 계수를 1로 만든다. 필요하면 양변을 같은 수로 나누거나 곱한다.
3) 구한 해를 원래 식에 다시 넣어 좌변과 우변이 같은지 확인한다.
조건과 확인 방법:
- 이항은 등식의 성질을 짧게 쓴 표현이므로, 부호만 바꾸지 말고 "양변에 같은 수를 더하거나 뺐다"고 생각한다.
- 계수로 나눌 때는 0으로 나누지 않는지 확인한다. 일차방정식에서는 x의 계수가 0이 아니어야 한다.
- 구한 해가 맞는지 확인하려면, 구한 값을 원래 방정식에 대입해 좌변과 우변이 같은지 계산한다.
- 분수·괄호가 있는 식이면 정리하기 전 식에 바로 대입해 확인하는 편이 실수를 줄인다.
예제와 같은 순서를 힌트를 덜 보고 밟아 본다. 이번에는 x의 계수가 음수다.
먼저 상수항을 이항해 x항만 남기고, 마지막에 x의 계수로 나눈다. 음수로 나눌 때 부호를 놓치기 쉽다.
다 푼 뒤에는 구한 값을 원래 식에 넣어 좌변과 우변이 같은지 확인한다.
이 차시와 같은 개념을 쓰는 추가 문항 6개다. 유형과 난이도가 섞여 있다.