고1 수학다항식의 연산과 나머지정리1 / 2 차시

다항식전개동류항곱셈공식

다항식의 덧셈·뺄셈·곱셈과 전개

다항식의 연산을 왜 그렇게 하는지 이해하고, 전개와 정리를 정확하게 할 수 있다.

다항식은 여러 항의 합으로 이루어진 식이다. 항은 수와 문자의 곱으로 이루어지고, 문자 부분이 같은 항을 동류항이라고 한다. 동류항은 계수끼리 더하거나 뺄 수 있다. 예:

3 x^{2} + 2 x + 1 + x^{2} - 4 x = (3 x^{2} + x^{2}) + (2 x - 4 x) + 1 = 4 x^{2} - 2 x + 1

식을 정리할 때는 차수가 높은 항부터 쓰는 것이 보통이다.

동류항을 묶는 이유는 ‘같은 종류의 양’끼리만 합치거나 뺄 수 있기 때문이다.

다항식의 곱셈은 결국 분배법칙이다. 각 항을 하나씩 곱해서 모두 더한 뒤, 동류항을 정리하면 된다. 예:

(x + 2) (x + 3) = x \cdot x + x \cdot 3 + 2 \cdot x + 2 \cdot 3 = x^{2} + 5 x + 6

여기서 중요한 것은 ‘모든 조합을 빠뜨리지 않는 것’이다.

자주 쓰는 곱셈공식은 분배법칙을 몇 번 적용한 결과다.

{(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}

{(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

(x + a) (x + b) = x^{2} + (a + b) x + a b

공식을 외우는 것보다 ‘왜 이런 모양이 나오는지’를 먼저 보는 것이 좋다. 예:

(a + b) (a - b)

는 가운데 항이 서로 소거되어

a^{2} - b^{2}

만 남는다.

공식은 암기 전에 전개로 직접 확인해 보자.

다음 식을 전개하여 정리하시오.

(2 x + 1) (x - 3) + {(x + 2)}^{2}

입문기본예상 3분

(2 x + 1) (x - 3) + {(x + 2)}^{2}

를 전개하여 정리하시오.

다음 식을 간단히 하시오.

(3 x + 2) (3 x - 2) - {(x + 1)}^{2}

입문기본예상 3분

(3 x + 2) (3 x - 2) - {(x + 1)}^{2}

을 간단히 하시오.

아래 문항들은 다항식의 전개와 정리를 익히기 위한 기본 문항이다.

입문기본예상 1분

(x + 3) (x - 4)

를 전개하시오.

입문기본예상 1분

{(2 a + 3 b)}^{2}

를 전개하시오.

기본예상 2분

(x + 1) (x - 1) + (x + 2) (x - 3)

을 전개하여 정리하시오.

(x + a) (x + b)

와

(x - a) (x - b)

를 비교해 보자. 중간 항의 부호와 상수의 부호가 어떻게 달라지는가? 또 (a + b)^2와 (a - b)^2를 비교하면, 가운데 항의 부호만 달라지고 a^2, b^2는 같다. 이것은 제곱을 풀 때 자주 헷갈리는 지점이므로 식을 전개해 직접 확인하는 습관이 필요하다.

(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2에서 마지막 항은 (-b)^2 = +b^2이라 부호가 바뀌지 않는다. 부호가 달라지는 것은 가운데 항뿐이다.

이 차시와 같은 개념을 쓰는 추가 문항 3개다. 유형과 난이도가 섞여 있다.

심화오답률상위적용예상 4분

a + b = 5

a b = 3

일 때

a^{2} + b^{2}

과

a^{3} + b^{3}

의 값을 차례로 구하시오. (예: 각각 7과 9이면 "7, 9"로 쓴다.)

기본예상 3분

(x - 1) (x + 4) - {(x - 2)}^{2}

을 전개하여 정리하시오.

기본예상 3분

(2 x + 3) (2 x - 3) + {(x - 1)}^{2}

을 전개하여 정리하시오.

이 차시에서는 다음을 다루었다. - 다항식은 항의 합이며, 동류항은 계수끼리 합친다. - 다항식의 곱셈은 분배법칙을 빠짐없이 적용하는 것이다. - 곱셈공식은 분배법칙의 결과를 정리한 것일 뿐, 외우기 전에 전개로 이해한다. - 부호 변화는 전개 결과에 직접 영향을 준다.