고1 수학방정식과 부등식1 / 2 차시

이차방정식근의 공식판별식근과 계수

이차방정식의 의미와 풀이

이차방정식이 무엇인지 이해하고, 인수분해와 근의 공식을 상황에 맞게 사용할 수 있다.

방정식은 ‘어떤 값을 넣었을 때만 성립하는 등식’이다. 그 값을 해 또는 근이라고 한다. 이차방정식은 정리했을 때

a x^{2} + b x + c = 0

(

a \neq 0

) 꼴이 되는 방정식이다. 해를 구하는 것은 ‘이 조건을 만족시키는

x

를 찾는 것’이다.

이차방정식은 가능하면 인수분해로 푸는 것이 간단하다. 하지만 인수분해가 바로 보이지 않을 때는 근의 공식을 쓴다.

a x^{2} + b x + c = 0

의 해는

x = (- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}) / (2 a)

이때 판별식

D = b^{2} - 4 a c

의 부호에 따라 해의 개수와 종류가 달라진다. -

D > 0

: 서로 다른 두 실근 -

D = 0

: 중근 -

D < 0

: 실근 없음(고등 범위에서는 허근) 공식은 외우되, ‘왜 근이 두 개일 수 있는지’를 그래프와 함께 보면 좋다.

이차방정식의 근과 그래프

이차함수

y = a x^{2} + b x + c

의 그래프와

x

축의 교점이 바로 이차방정식

a x^{2} + b x + c = 0

의 실근이다. 아래에서 계수

a

b

c

를 바꾸며 그래프가 어떻게 움직이고, 교점이 어떻게 달라지는지 확인해 보자.

그래프 조작이차함수 그래프와 x축 교점이 방정식 실근과 어떻게 연결되는지 본다.

a1.0

b0.0

c-2.0

y = 1.0x² + 0.0x - 2.0
꼭짓점 (0.00, -2.00) · 판별식 D = 8.00 · 서로 다른 두 실근
실근 x = -1.41, 1.41

D의 부호와 x축 교점의 개수가 항상 함께 움직이는지 확인해 보자.

다음 이차방정식을 푸시오.

x^{2} - 5 x + 6 = 0

입문기본예상 1분

x^{2} - 5 x + 6 = 0

의 해를 구하시오.

다음 이차방정식을 푸시오.

2 x^{2} + 3 x - 5 = 0

기본예상 3분

2 x^{2} + 3 x - 5 = 0

의 해를 구하시오.

판별식과 근의 공식을 함께 쓰는 기본 문항을 풀어 보자.

기본개념확인예상 2분

x^{2} + 4 x + k = 0

이 중근을 갖도록

k

를 구하시오.

기본적용예상 1분

이차방정식

x^{2} - 4 x + 1 = 0

의 두 근을 α, β라 할 때,

α + β

와

α β

의 값을 차례로 구하시오. (예: 두 값이 3과 5이면 "3, 5"로 쓴다.)

판별식

D = b^{2} - 4 a c

는 방정식의 ‘실근의 개수’만 말해주는 것이 아니다. 그래프가

x

축과 몇 번 만나는지, 접하는지, 만나지 않는지를 한눈에 보여준다. 또 근과 계수의 관계를 쓰면 해를 직접 구하지 않아도 해의 합과 곱을 알 수 있다.

a x^{2} + b x + c = 0

의 두 근을 α, β라 하면

α + β = - b / a

α β = c / a

이 관계는 계산 문제를 줄이는 데도, 해의 성질을 따지는 데도 유용하다.

근과 계수의 관계는

D

의 부호와 무관하게 성립한다. 실근이 없어도 두 근의 합과 곱은

- b / a

c / a

로 그대로 나온다.

이 차시와 같은 개념을 쓰는 추가 문항 6개다. 유형과 난이도가 섞여 있다.

입문기본함정예상 3분

2 x^{2} - 4 x - 3 = 0

의 해를 근의 공식으로 구할 때, 다음 중 올바른 해의 형태는?

기본적용수능형예상 3분

이차방정식

x^{2} - 2 x + k = 0

의 두 근이 α, β이고

α^{2} + β^{2} = 8

일 때,

k

의 값을 구하시오.

기본서술예상 3분

이차방정식

a x^{2} + b x + c = 0

에서 판별식이 무엇을 뜻하는지, 그래프와 연결지어 서술하시오.

심화오답률상위적용예상 3분

이차방정식

x^{2} - 2 a x + a + 6 = 0

이 서로 다른 두 실근을 갖도록

a

의 범위를 구하시오.

기본적용예상 3분

x^{2} - 6 x + k = 0

의 두 근의 비가 2:1일 때,

k

의 값을 구하시오.

기본서술예상 3분

이차방정식의 근과 계수의 관계가 왜 성립하는지, 근의 공식과 연결지어 서술하시오.

이 차시에서는 다음을 다루었다. - 이차방정식은

a x^{2} + b x + c = 0

(

a \neq 0

) 꼴이다. - 인수분해로 풀 수 있으면 먼저 인수분해, 안 되면 근의 공식. - 판별식은 실근 개수와 그래프-축 관계를 알려준다. - 근과 계수의 관계는 해를 직접 구하지 않고도 정보를 준다.