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수학 학습
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집합의 연산여집합드모르간의 법칙

집합의 연산

합집합·교집합·여집합·차집합을 구하고, 드모르간의 법칙을 이용해 집합식을 정리할 수 있다.

선행:집합과 조건, 명제
전체집합 U의 부분집합 A, B에 대해 합집합 A∪B는 A 또는 B에 속하는 원소 전체, 교집합 A∩B는 A와 B에 모두 속하는 원소 전체다. 여집합 Ac는 U의 원소 중 A에 속하지 않는 것 전체이고, 차집합 A−B는 A에 속하지만 B에는 속하지 않는 원소 전체다. A−B=A∩Bc가 항상 성립한다.
(A∪B)c=Ac∩Bc(A∩B)c=Ac∪Bc "합집합의 여집합은 여집합들의 교집합", "교집합의 여집합은 여집합들의 합집합"으로 기억한다 — 여집합을 취하면 ∪와 ∩가 서로 뒤바뀐다.
괄호 안의 연산(∪ 또는 ∩)과 밖으로 나온 연산이 서로 반대로 바뀐다는 점이 드모르간 법칙의 핵심이다.
전체집합 U={1,2,3,4,5,6}, A={1,2,3}, B={2,3,4}일 때 A∪B, A∩B, Ac를 구한다.
입문기본예상 1분
전체집합 U={1,2,3,4,5,6}, A={1,2,3}, B={2,3,4}일 때 A∩B를 구하시오.
전체집합 U={1,2,3,4,5,6}, A={1,2,3}, B={3,4,5}로 직접 확인해 보자. A∪B={1,2,3,4,5}이므로 (A∪B)c={6}이다. Ac={4,5,6}, Bc={1,2,6}이므로 Ac∩Bc={6}이다. 두 결과가 같다. 이번엔 A∩B={3}이므로 (A∩B)c={1,2,4,5,6}이다.Ac∪Bc={4,5,6}∪{1,2,6}={1,2,4,5,6}역시 같은 결과다. 이유를 원소 하나로 따라가 보면 분명해진다. 원소 x가 (A∪B)c에 속한다는 것은 "x가 A∪B에 속하지 않는다"는 뜻이고, 이는 "x가 A에도 속하지 않고 B에도 속하지 않는다"는 뜻이다. "A에도 안 속하고 B에도 안 속한다"는 정확히 "Ac에 속하면서 동시에 Bc에도 속한다"는 것과 같다 — 그래서 ∪의 부정이 ∩로 바뀐다. "A 또는 B에 속하지 않는다"를 "안 속하고, 안 속한다"로 풀어 쓰면 '또는'이 '그리고'로 바뀌는 것과 같은 원리다.
여집합을 취하면 '또는(∪)'은 '그리고(∩)'로, '그리고(∩)'는 '또는(∪)'으로 바뀐다. 원소 하나를 놓고 부정문을 풀어 써 보면 이 대응이 왜 성립하는지 보인다.
벤 다이어그램을 머릿속에 그리며 각 연산의 결과를 원소를 나열해 직접 확인한다.
기본적용예상 1분
전체집합 U={1,2,3,4,5,6,7,8}, A={2,4,6,8}일 때 Ac를 구하시오.
심화오답률상위예상 2분
전체집합 U={1,2,3,4,5,6}, A={1,2,4}, B={2,3,4,5}일 때 (A∩B)c를 구하시오.
이 차시와 같은 개념을 쓰는 추가 문항 5개다. 유형과 난이도가 섞여 있다.
입문기본예상 1분
전체집합 U={1,2,3,4,5,6,7,8}, A={1,3,5,7}, B={2,3,5,8}일 때 A∪B를 구하시오.
기본적용예상 2분
전체집합 U={1,2,3,4,5,6,7}, A={1,2,3,4}, B={3,4,5}일 때 A−B를 구하시오.
심화오답률상위서술예상 3분
전체집합 U={1,2,3,4,5,6}, A={1,2,3}, B={2,3,4}일 때 (A∪B)c와 Ac∩Bc가 같은 집합인지 확인하고, 이것이 우연이 아닌 이유를 설명하시오.
기본예상 2분
전체집합 U={1,2,3,4,5,6,7,8}, A={1,2,3,4}, B={3,4,5,6}일 때 A∪B를 구하시오.
심화함정예상 3분
전체집합 U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, A={2,4,6,8,10}, B={3,6,9}일 때 (A−B)∪(B−A)를 구하시오.
합집합은 '또는', 교집합은 '그리고', 여집합은 전체집합에서 뺀 나머지, 차집합 A−B는 A∩Bc다. 드모르간의 법칙 (A∪B)c=Ac∩Bc, (A∩B)c=Ac∪Bc는 여집합을 취할 때 ∪와 ∩가 서로 바뀐다는 것을 말한다. 집합식을 정리할 때 헷갈리면 구체적인 원소를 넣어 직접 확인해 본다.
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