원과 직선접선판별식
원과 직선의 위치 관계
원과 직선의 위치 관계를 판별식이나 점과 직선 사이의 거리로 판단하고, 접선의 방정식을 구할 수 있다.
원과 직선은 서로 두 점에서 만나거나, 한 점에서 만나거나(접함), 만나지 않는 세 가지 경우가 있다.
원의 방정식과 직선의 방정식을 연립해 이차방정식을 만들면, 그 판별식의 부호로 위치 관계를 판단할 수 있다.
연립한 이차방정식의 판별식 에 대해:
이면 서로 다른 두 점에서 만난다. 이면 접한다(한 점에서 만난다). 이면 만나지 않는다.
또는 원의 중심에서 직선까지의 거리 와 반지름 을 비교해도 같은 결론을 얻는다:
이면 두 점에서 만나고, 이면 접하고, 이면 만나지 않는다.
두 방법(판별식, 거리 비교) 중 어느 것을 써도 같은 결론이 나온다. 식이 간단할 때는 판별식, 거리 공식이 간단할 때는 거리 비교를 쓴다.
원 와 직선 의 위치 관계를 판별식으로 판단한다.
원 (중심 (0,0), 반지름 2)와 직선 의 위치 관계를 두 방법으로 각각 확인해 보자.
방법 1(판별식): 을 원의 식에 대입하면 , 즉 가 되어 실수 가 없다. 만나지 않는다.
방법 2(거리): 원의 중심 에서 직선 까지의 거리는 이다. 반지름은 이므로 다. 만나지 않는다.
두 방법 모두 "만나지 않는다"는 같은 결론을 준다. 이유는 두 방법이 사실 같은 것을 다른 방식으로 재는 것이기 때문이다.
판별식이 음수라는 것은 대입해서 나온 이차방정식이 실근을 갖지 않는다는 뜻이고, 이는 원과 직선이 실제로 만나는 교점이 없다는 뜻이다.
거리가 반지름보다 크다는 것은 직선이 원의 중심에서 너무 멀리 떨어져 있어 원 안쪽을 지나가지 못한다는 뜻이다. 둘 다 "실제로 만나는 점이 있는가"라는 같은 질문에 대한 답이라서, 방법은 달라도 결론은 항상 일치한다.
계산이 복잡한 상황(직선의 기울기가 분수 등)에서는 거리 공식이, 직선이 꼴로 간단할 때는 판별식이 더 계산하기 편하다.
판별식과 거리 비교는 서로 다른 계산 방법일 뿐, 같은 위치 관계를 판단하는 두 가지 길이다. 상황에 맞는 방법을 골라 쓰면 된다.
상황에 맞게 판별식 또는 거리 비교 중 계산이 더 간단한 방법을 골라 위치 관계를 판단한다.
이 차시와 같은 개념을 쓰는 추가 문항 5개다. 유형과 난이도가 섞여 있다.
원과 직선의 위치 관계는 연립한 이차방정식의 판별식 D의 부호, 또는 중심에서 직선까지의 거리 d와 반지름 r의 비교로 판단한다.
D>0(또는 d<r)이면 두 점에서 만나고, D=0(또는 d=r)이면 접하고, D<0(또는 d>r)이면 만나지 않는다.
두 방법은 계산 경로만 다를 뿐 항상 같은 결론을 준다.