확률경우의 수
확률의 뜻과 계산
순열·조합으로 경우의 수를 세어 확률을 구하고, 확률의 기본 성질을 이용해 계산할 수 있다.
어떤 시행에서 사건 가 일어날 확률은로 정의한다. 이때 모든 근원사건이 일어날 가능성이 같아야 한다.
앞 차시에서 배운 순열·조합은 이 정의의 분자·분모(경우의 수)를 세는 도구로 그대로 쓰인다.
이고, 절대 일어나지 않는 사건의 확률은 0, 반드시 일어나는 사건의 확률은 1이다.
여사건의 확률: .
'적어도 하나'를 구하는 문제는 직접 세기보다 여사건(하나도 없음)을 이용하면 훨씬 간단해지는 경우가 많다.
'적어도'라는 말이 나오면 여사건을 먼저 검토한다. 직접 세는 경우의 수가 훨씬 많은 경우가 대부분이다.
서로 다른 5개의 제비 중 당첨 제비가 2개 있다. 이 중 2개를 뽑을 때 둘 다 당첨일 확률을 구한다.
서로 다른 동전 4개를 던질 때 "적어도 1개는 앞면이 나올 확률"을 구해 보자.
직접 세는 방법: 앞면이 정확히 1개, 2개, 3개, 4개인 경우를 각각 세어 더해야 한다. 앞면 1개: 4가지, 2개: 6가지, 3개: 4가지, 4개: 1가지로 모두 더하면 15가지다. 전체 경우의 수는 이므로 확률은 이다.
여사건을 이용하는 방법: "적어도 1개는 앞면"의 여사건은 "하나도 앞면이 없음(전부 뒷면)"이다. 전부 뒷면인 경우는 1가지뿐이므로 그 확률은 이다.
따라서 구하는 확률은 으로, 직접 센 것과 정확히 같다.
두 방법의 결과는 같지만 계산량은 크게 다르다. 직접 세는 방법은 네 가지 경우(1개, 2개, 3개, 4개)를 모두 따져야 하지만, 여사건을 이용하면 "전부 뒷면"이라는 단 하나의 경우만 세면 된다.
"적어도 하나"라는 말은 "0개인 경우만 빼고 나머지 전부"를 뜻하므로, 경우의 수가 많은 "나머지 전부"를 직접 세는 대신 경우의 수가 하나뿐인 "0개"를 세어 1에서 빼는 것이 항상 더 간단하다.
'적어도 하나'는 경우의 수가 여러 갈래(1개, 2개, ...)로 나뉘지만, 그 여사건('하나도 없음')은 대개 한 가지 경우뿐이다. 그래서 여사건을 이용하면 계산이 훨씬 줄어든다.
'적어도'라는 말이 나오면 여사건을 먼저 검토해 계산이 더 간단해지는지 확인한다.
이 차시와 같은 개념을 쓰는 추가 문항 5개다. 유형과 난이도가 섞여 있다.
확률은 로 정의하며, 순열·조합은 이 경우의 수를 세는 도구다.
가 성립하며, '적어도 하나'를 구하는 문제는 여사건(하나도 없음)을 이용하면 계산이 훨씬 간단해진다.
확률을 구하기 전에 모든 근원사건이 일어날 가능성이 같은지(공평한 시행인지) 확인한다.