고1 수학함수의 뜻과 그래프2 / 2 차시

합성함수역함수대응그래프

합성함수와 역함수

합성함수와 역함수의 뜻을 이해하고, 간단한 경우에 값을 구하고 그래프를 비교할 수 있다.

합성함수는 한 함수의 출력을 다른 함수의 입력으로 넣는 것이다.

f

와

g

가 있을 때,

(g \circ f) (x) = g (f (x))

로 쓴다. 순서가 중요하다. 먼저

f

에 넣고, 그 결과를 다시

g

에 넣는다. 그래서

g \circ f

와

f \circ g

는 보통 다르다.

역함수는 ‘함수의 대응을 거꾸로 돌린 것’이다.

f (x) = y

이면, 역함수

f^{- 1}

는

f^{- 1} (y) = x

를 만족한다. 모든 함수가 역함수를 가지는 것은 아니다. 입력 하나에 출력 하나가 대응되는 함수이면서, 출력에서도 입력이 유일하게 정해져야 역함수가 존재한다. 그래프에서는

y = x

에 대하여 대칭이면 역함수 관계를 떠올릴 수 있다.

역함수의 그래프 대칭

함수와 그 역함수의 그래프가

y = x

에 대해 대칭이 되는 모습을 확인해 보자. 함수가 일대일이 아니면 역함수가 정의되지 않는 이유도 함께 본다.

그래프 조작y = x 대칭과 일대일 조건이 왜 필요한지 함께 본다.

a2.0

b1.0

f(x) = 2.0x + 1.0
f⁻¹(x) = (x - 1.0) / 2.0

파란 그래프와 빨간 그래프가 점선 y = x에 대해 대칭인지 확인해 보자.

f (x) = 2 x + 1

g (x) = x^{2}

일 때,

(g \circ f) (- 1)

을 구하시오.

기본예상 1분

f (x) = 2 x + 1

g (x) = x^{2}

일 때

(g \circ f) (- 1)

의 값을 구하시오.

f (x) = 3 x - 2

의 역함수를 구하시오.

기본예상 2분

f (x) = 3 x - 2

의 역함수를 구하시오.

합성함수와 역함수의 기본 문항을 풀어 보자.

기본적용예상 2분

f (x) = x + 2

g (x) = 2 x

일 때 다음 중 옳은 것을 고르시오.

기본개념확인예상 1분

다음 중 역함수가 존재하지 않을 수 있는 함수는?

f (x) = x^{2}

는 역함수를 바로 가지지 않는다. 왜냐하면 하나의

y

에 대해

x

가 두 개 나올 수 있기 때문이다. 예를 들어

y = 4

이면

x = 2

또는

x = - 2

가 될 수 있다. 이런 경우 정의역을 제한하면 역함수를 만들 수 있다. 이처럼 역함수는 함수 자체만이 아니라, 어떤 범위에서 다루는지까지 함께 봐야 한다.

역은 성립하지 않는다. 정의역을 제한하면 역함수가 생기지만, 그렇게 만든 역함수는 원래 함수 전체의 역함수가 아니라 제한된 부분의 역함수다.

이 차시와 같은 개념을 쓰는 추가 문항 4개다. 유형과 난이도가 섞여 있다.

심화함정수능형예상 4분

f (x) = 2 x - 1

g (x) = x + 3

일 때

{(f \circ g)}^{- 1} (9)

의 값을 구하시오.

입문기본예상 1분

f (x) = 2 x - 1

일 때

(f \circ f) (2)

의 값을 구하시오.

입문기본예상 1분

f (x) = x + 3

g (x) = 2 x

일 때

(f \circ g) (1)

의 값을 구하시오.

심화함정예상 2분

f (x) = 2 x - 1

의 역함수가

g (x)

일 때,

(f \circ g) (5)

의 값에 대해 옳은 것을 고르시오.

이 차시에서는 다음을 다루었다. - 합성함수는 출력을 다른 함수의 입력으로 넣는 것이다. - 역함수는 대응을 거꾸로 한 함수다. - 역함수가 존재하려면 대응이 일대일로 되돌릴 수 있어야 한다.