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수학 학습
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직선의 방정식원의 방정식좌표평면기하와 대수

직선의 방정식과 원의 방정식

좌표평면에서 직선과 원의 방정식을 세우고, 기하학적 의미를 식으로 연결할 수 있다.

선행:일차함수와 그래프원의 성질과 원주각
직선 위의 점들은 어떤 일정한 규칙을 가진다. 기울기 m, 한 점 (x1,y1)을 알면 y−y1=m(x−x1)로 직선의 방정식을 세울 수 있다. 두 점 (x1,y1), (x2,y2)를 지나는 직선의 기울기는 m=(y2−y1)/(x2−x1)이다. 직선은 기울기와 위치 정보로 완전히 결정된다.
중심이 (a,b)이고 반지름이 r인 원의 방정식은 (x−a)2+(y−b)2=r2이다. 이것은 ‘중심에서 거리가 r인 점들의 집합’이라는 뜻을 식으로 쓴 것이다. 좌표시대에는 도형을 식으로, 식을 도형으로 읽을 수 있다.
직선과 원의 위치와 관계
직선의 기울기와 위치, 원의 중심과 반지름을 바꾸며 직선과 원이 만나는지, 접하는지, 만나지 않는지를 확인해 보자.
도형 스케치중심-직선 거리와 반지름 비교로 위치 관계를 본다.
반지름 r2.0
직선 y = k1.0
중심에서 직선까지의 거리 d = 1.00 · 반지름 r = 2.00
d < r 이므로 두 점에서 만난다
교점의 개수는 d와 r의 대소만으로 정해진다. 방정식을 풀지 않아도 판정할 수 있다.
두 점 (1,2), (4,8)을 지나는 직선의 방정식을 구하시오.
기본예상 2분
두 점 (1,2), (4,8)을 지나는 직선의 방정식을 구하시오.
중심이 (2,−1)이고 반지름이 3인 원의 방정식을 구하시오.
입문기본예상 1분
중심이 (2,−1)이고 반지름이 3인 원의 방정식을 구하시오.
직선과 원의 기본 문항을 풀어 보자.
기본적용예상 1분
점 (1,3)을 지나고 직선 y=2x+1에 평행한 직선의 방정식을 구하시오.
심화수능형예상 3분
원 x2+y2=10과 직선 y=x+k가 접하도록 k를 구하시오.
원 (x−a)2+(y−b)2=r2을 전개하면 x2+y2−2ax−2by+(a2+b2−r2)=0 처럼 된다. 이 모습은 얼핏 복잡해 보이지만, 다시 정리하면 중심의 좌표와 반지름이 드러난다. 즉, 식은 때로 도형을 숨기고, 때는 도형을 계산 가능한 형태로 바꿔 준다. 기하 문제를 대수로 바꾸는 능력은 이 차시 이후의 많은 문제에서도 중요하다.
역은 항상 성립하지 않는다. x2+y2+Ax+By+C=0 꼴이라고 모두 원은 아니다. 정리했을 때 우변이 음수면 그런 점은 존재하지 않는다.
이 차시와 같은 개념을 쓰는 추가 문항 7개다. 유형과 난이도가 섞여 있다.
기본적용예상 2분
점 (2,1)을 지나고 직선 y=3x−2에 수직인 직선의 방정식을 구하시오.
기본오답률상위적용예상 2분
원 x2+y2−6x+4y+4=0의 중심의 좌표와 반지름을 차례로 구하시오. (예: 중심이 (1, 2)이고 반지름이 5이면 "(1, 2), 5"로 쓴다.)
심화수능형서술예상 3분
원 x2+y2=r2과 직선 ax+by+c=0의 위치 관계를 판단하는 방법을 서술하시오.
심화오답률상위적용예상 3분
원 x2+y2=9와 직선 y=2x+k가 서로 다른 두 점에서 만나도록 k의 범위를 구하시오.
기본서술예상 2분
두 직선이 수직일 조건을 이용하여, 주어진 직선에 수직인 직선족을 구하는 방법을 서술하시오.
기본적용예상 1분
중심이 원점이고 점 (3,4)를 지나는 원의 방정식을 구하시오.
입문기본예상 2분
두 점 (0,1), (2,5)를 지나는 직선의 방정식을 구하시오.
이 차시에서는 다음을 다루었다. - 직선은 기울기와 한 점으로 결정된다. - 원은 중심에서 거리가 일정한 점들의 집합이다. - 식과 도형은 서로 번역할 수 있는 관계다.
관련
차시함수의 뜻과 그래프 읽기차시원과 직선의 위치 관계
다음: 원과 직선의 위치 관계