나머지정리인수정리조립제법
나머지정리와 인수정리
나눗셈을 직접 하지 않고 나머지를 구하고, 인수정리로 삼차 이상 다항식을 인수분해할 수 있다.
다항식 를 일차식 로 나눈 몫을 , 나머지를 이라 하면
로 쓸 수 있다. 나누는 식이 일차이므로 나머지는 상수 하나뿐이다.
여기에 를 넣으면 첫 항이 사라진다.
따라서 이 된다. 나눗셈을 하지 않아도 나머지를 알 수 있다는 뜻이다.
나머지정리: 를 로 나눈 나머지는 다.
인수정리: 이면 는 의 인수이고, 그 역도 성립한다.
인수정리는 나머지정리에서 나머지가 0인 특별한 경우다.
따로 외울 두 개의 규칙이 아니라 하나의 사실을 두 방향으로 읽은 것이다.
로 나눌 때는 를 대입한다. 부호를 반대로 넣는 실수가 가장 많다.
나눗셈을 하지 않고 대입만으로 풀 수 있다.
먼저 이 되는 작은 정수를 찾고, 남은 이차식을 다시 인수분해한다.
후보는 상수항의 약수부터 넣어 본다.
삼차식을 인수분해할 때 "아무 수나 넣어 본다"고 하면 끝이 없다.
그런데 실제로는 후보가 몇 개 되지 않는다. 이유를 따져 보자.
이 꼴로 인수분해된다고 하자.
이 식을 전개했을 때 상수항은 이다.
즉 **세 근의 곱이 상수항과 (부호를 빼면) 같다.**
근이 정수라면 각 근은 상수항 3을 나누어떨어지게 하는 수여야 한다.
따라서 후보는 3의 약수인 , 네 개뿐이다.
실제로 이므로 이 인수다.
이 방법이 통하지 않는 경우도 알아 두자.
· 근이 정수가 아니면(예: , ) 후보에 걸리지 않는다.
· 최고차항의 계수가 1이 아니면 후보가 (상수항의 약수)/(최고차항 계수의 약수) 꼴로 늘어난다.
그래서 "상수항의 약수부터"는 만능 규칙이 아니라, 정수근이 있을 때 가장 빨리 찾는 요령이다.
역은 성립하지 않는다. 상수항의 약수라고 해서 모두 근인 것은 아니다. 넣어서 0이 되는지 반드시 확인해야 한다.
이 차시와 같은 개념을 쓰는 추가 문항 5개다. 유형과 난이도가 섞여 있다.
- 나머지는 , 인수 여부는 으로 판정한다.
- 로 나눌 때 대입값은 다. 부호를 확인하고 넣는다.
- 삼차 이상은 인수 하나를 찾아 이차식으로 낮춘 뒤 마무리한다.
- 정수근 후보는 상수항의 약수다. 단, 정수근이 없으면 이 방법으로는 찾을 수 없다.
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