고1 수학집합과 명제1 / 2 차시

집합명제필요조건충분조건

집합과 조건, 명제

집합과 조건을 식으로 표현하고, 명제의 참/거짓과 필요·충분조건을 구분할 수 있다.

집합은 대상들의 모임이다. 조건제시법으로는

{x | 조건}

처럼 쓴다. 예를 들어

{x | x 는 5 이하의 자연수} = {1, 2, 3, 4, 5}

조건의 의미로 집합을 쓰면, 부등식의 해집합이나 함수의 정의역도 같은 언어로 다룰 수 있다.

명제는 참 또는 거짓을 판단할 수 있는 문장이다. 예를 들어 “2는 소수이다”는 명제다.

x

에 따라 참/거짓이 달라지는 문장

P (x)

는 조건이라고 부른다. 이런 조건은 집합을 정의하는 데 자주 쓰인다. 명제를 다룰 때는 ‘무엇이 가정이고 무엇이 결론인지’를 분명히 해야 한다.

“

x = 2

이면

x^{2} = 4

이다.”에서 가정, 결론을 쓰고, 필요조건·충분조건 관계를 판단하시오.

기본개념확인서술예상 2분

“

x = 2

이면

x^{2} = 4

이다.”에서 가정과 결론을 쓰고,

x = 2

가

x^{2} = 4

의 필요조건인지 충분조건인지 판단하고 이유를 쓰시오.

집합과 명제의 기본 문항을 풀어 보자.

입문기본예상 1분

조건제시법으로 나타낸 집합

{x | x 는 6의 양의 약수}

를 원소나열법으로 쓰시오.

기본개념확인예상 1분

다음 명제의 참/거짓을 판단하시오. “모든 실수 x에 대하여

x^{2} \geq 0

이다.”

“

P

이면

Q

이다”가 참일 때,

P

는

Q

의 충분조건,

Q

는

P

의 필요조건이다. 헷갈리는 이유는 언어 순서가 직관적이지 않기 때문이다. 그래서 명제를 보면 먼저 ‘가정-결론’을 잡고, 그다음 화살표 방향으로 생각하는 습관이 필요하다. 필요·충분조건은 방정식, 부등식, 함수 조건을 논할 때도 계속 나온다.

P \to Q

가 참이어도

Q \to P

는 따로 확인해야 한다. 양방향이 모두 참일 때만 필요충분조건이다.

이 차시와 같은 개념을 쓰는 추가 문항 7개다. 유형과 난이도가 섞여 있다.

기본함정개념확인예상 1분

“

x^{2} = 4

이면

x = 2

이다.”에 대한 판단으로 옳은 것을 고르시오.

기본적용예상 1분

집합

A = {x | x 는 10 이하의 소수}

의 원소를 모두 쓰시오.

기본서술예상 2분

“

P

이면

Q

이다”가 참일 때, 필요조건과 충분조건을 각각 설명하시오.

기본오답률상위적용예상 2분

정수 x에 대하여 명제 “x가 6의 배수이면 x는 3의 배수이다”가 있다. "x가 6의 배수"는 "x가 3의 배수"이기 위한 무슨 조건인가?

기본함정개념확인서술예상 2분

“

x = 2

이면

x^{2} = 4

이다.”의 역과 대우를 각각 쓰고, 각각의 참/거짓을 판단하시오.

기본적용예상 1분

A = {x | x 는 12의 약수}

B = {x | x 는 3의 약수}

일 때, 포함관계를 기호로 나타내시오.

심화오답률상위적용예상 2분

실수

x

에 대한 두 조건

p

- 1 \leq x \leq 3

q

x \leq a

가 있다.

p

가

q

이기 위한 충분조건이 되도록 하는 실수

a

의 최솟값을 구하시오.

이 차시에서는 다음을 다루었다. - 집합은 조건제시법으로 표현할 수 있다. - 명제는 참/거짓을 판단할 수 있는 문장이다. -

P \to Q

가 참이면

P

는 충분조건,

Q

는 필요조건이다.