고1 수학방정식과 부등식2 / 2 차시

이차부등식절댓값부호해집합

이차부등식과 절댓값·부호 해석

이차부등식을 그래프로 이해하고, 절댓값이 들어간 식도 구조를 보고 풀 수 있다.

부등식의 해는 하나의 수가 아니라 ‘범위’인 경우가 많다. 이 범위를 해집합이라고 한다. 이차부등식은 이차식이 포함된 부등식이며, 보통 이차함수의 그래프와

x

축의 위치 관계로 이해하면 쉽다. 예를 들어

a x^{2} + b x + c > 0

의 해는 그래프가

x

축보다 위에 있는

x

의 범위다.

이차부등식과 그래프

y = a x^{2} + b x + c

의 그래프에서

x

축보다 위/아래에 있는 구간을 시각화해 보자. 부등호 방향이 바뀌면 해집합이 어떻게 달라지는지도 확인한다.

그래프 조작그래프 위/아래 구간과 부등호 방향을 함께 본다.

a1.0

b0.0

c-2.0

y = 1.0x² + 0.0x - 2.0
꼭짓점 (0.00, -2.00) · 판별식 D = 8.00 · 서로 다른 두 실근
실근 x = -1.41, 1.41

색칠된 구간이 부등식 ax² + bx + c < 0 이 되는 구간이다. a의 부호를 뒤집으면 구간이 어떻게 바뀌는지 확인해 보자.

다음 이차부등식을 푸시오.

x^{2} - 3 x + 2 > 0

기본예상 2분

x^{2} - 3 x + 2 > 0

의 해를 구하시오.

다음 부등식을 푸시오.

| x - 2 | < 5

기본예상 1분

| x - 2 | < 5

의 해를 구하시오.

이차부등식과 절댓값 부등식을 섞어 연습해 보자.

심화적용예상 2분

모든 실수 x에 대하여

x^{2} + k x + 9 > 0

이 성립하도록

k

의 범위를 구하시오.

| x - a |

는 ‘

x

와

a

사이의 거리’로 읽을 수 있다. 이 관점이 있으면

| x - 2 | < 5

같은 식이 ‘2에서 거리가 5보다 작은

x

’로 바로 해석된다. 절댓값이 들어간 식은 무조건 경우를 나누는 것보다, 먼저 ‘무엇을 나타내는 식인지’를 보는 것이 중요하다. 경우에 따라 그래프로 확인하면 실수가 크게 줄어든다.

거리로 읽는 방법은

| x - a |

꼴일 때 바로 통한다.

| 2 x + 1 |

처럼 계수가 붙으면

2 | x + 1 / 2 |

로 묶어야 같은 해석이 가능하다.

이 차시와 같은 개념을 쓰는 추가 문항 8개다. 유형과 난이도가 섞여 있다.

심화오답률상위적용예상 2분

부등식

x^{2} - 2 x - 3 \leq 0

의 해를 구하시오.

기본함정적용예상 2분

다음 부등식의 해를 구하시오.

| 2 x + 1 | \geq 7

심화서술예상 3분

이차부등식

a x^{2} + b x + c > 0

의 해를 구할 때, 그래프에서 무엇을 확인해야 하는지 서술하시오.

심화오답률상위적용예상 2분

부등식

- x^{2} + 4 x - 3 \geq 0

의 해를 구하시오.

심화적용예상 3분

모든 실수 x에 대하여

a x^{2} + 4 x + a > 0

이 성립하도록

a

의 범위를 구하시오.

기본서술예상 3분

| x - 1 | + | x + 2 | < 5

를 경우를 나누어 풀이하는 방법을 서술하시오.

입문기본예상 1분

이차부등식

(x - 1) (x + 3) > 0

의 해를 구하시오.

입문기본예상 2분

부등식

x^{2} - 5 x + 6 < 0

의 해를 구하시오.

이 차시에서는 다음을 다루었다. - 이차부등식은 그래프의 위/아래 구간으로 이해한다. - 절댓값은 거리 관점으로 읽으면 해석이 쉬워진다. - 경우를 나눌 때도, 그래프나 수직선으로 확인하는 습관을 가진다.