평행이동대칭이동도형의 이동
도형의 이동: 평행이동과 대칭이동
점과 도형을 평행이동·대칭이동하는 방법을 이해하고, 이동한 도형의 방정식을 구할 수 있다.
평행이동은 도형을 모양과 크기는 그대로 두고 일정한 방향으로 밀어서 옮기는 것이다.
점 를 x축 방향으로 , y축 방향으로 만큼 평행이동하면 점 로 옮겨간다.
예를 들어 점 을 x축 방향으로 4, y축 방향으로 -1만큼 평행이동하면가 된다. 좌표에 이동한 만큼을 그대로 더하면 된다.
점을 평행이동할 때는 좌표에 이동량을 더하지만, 도형(방정식)을 평행이동할 때는 반대로 뺀다는 조건이 다르다.
도형 을 x축 방향으로 , y축 방향으로 만큼 평행이동한 도형의 방정식은이다. 즉 원래 식의 자리에 를, 자리에 를 넣는다.
이동한 도형 위의 한 점 은 원래 도형 위의 점 가 이동해서 생긴 것이므로, 그 점이 원래 방정식을 만족한다는 조건에서 이 성립하기 때문이다.
점은 좌표에 +a를 더하는데, 식은 x 자리에 x-a를 넣는다. 부호가 반대라는 것을 늘 확인한다. 가장 많이 틀리는 자리다.
직선 을 x축 방향으로 3만큼 평행이동한 직선의 방정식을 구하시오.
대칭이동은 어떤 기준(축이나 점, 직선)을 사이에 두고 도형을 뒤집어 옮기는 것이다. 점의 좌표를 기준으로 네 가지를 정리한다.
- x축에 대칭: — y좌표의 부호만 바뀐다.
- y축에 대칭: — x좌표의 부호만 바뀐다.
- 원점에 대칭: — 두 좌표의 부호가 모두 바뀐다.
- 직선 에 대칭: — 두 좌표의 자리가 서로 바뀐다(부호는 그대로).
네 가지는 서로 다른 조건이므로, 어느 기준으로 대칭이동하는지부터 확인해야 한다.
평행이동에서 점과 식의 부호가 반대인 이유를 좌표를 직접 따라가며 확인해 보자.
포물선 위의 점 을 x축 방향으로 2만큼 평행이동하면 점은 로 옮겨간다.
이동한 포물선이 새 점 을 지나야 하므로, 이동한 포물선의 방정식에 을 넣으면 등식이 성립해야 한다는 조건이 나온다.
이동한 포물선의 방정식을 라고 하면, 을 대입했을 때 이 되어 과 같아 조건을 만족한다.
만약 부호를 헷갈려 로 썼다면 에서 가 되어 원래 점이 지나가는 자리와 맞지 않는다.
이처럼 도형의 방정식에서는 이동한 방향과 반대 부호를 대입해야, 이동 전 점들이 이동 후에도 식을 만족한다는 조건이 유지된다.
대칭이동은 점과 식 모두 같은 규칙(좌표를 그대로 바꿔 넣는다)을 쓴다. 부호가 반대로 들어가는 것은 평행이동만의 특징이다.
평행이동과 대칭이동을 섞어 연습한다.
이 차시와 같은 개념을 쓰는 추가 문항 4개다. 유형과 난이도가 섞여 있다.
이 차시에서는 다음을 다루었다.
- 점의 평행이동: , 좌표에 이동량을 더한다.
- 도형의 평행이동: 방정식의 x 자리에 x-a, y 자리에 y-b를 넣는다. 점과 부호가 반대다.
- 대칭이동: x축·y축·원점·직선 y=x 네 가지 기준에 따라 좌표가 다르게 바뀐다.
- 원의 방정식에도 같은 원리로 평행이동·대칭이동을 적용할 수 있다.