근의 공식판별식이차방정식
근의 공식과 판별식
인수분해가 되지 않는 이차방정식을 근의 공식으로 풀고, 판별식으로 실근의 개수를 판단할 수 있다.
처럼 정수 범위에서 인수분해가 되지 않는 이차방정식도 있다.
이런 경우에도 항상 쓸 수 있는 공식이 근의 공식이다.
이차방정식 ()의 해는로 항상 구할 수 있다.
근의 공식에서 루트 안의 를 판별식이라 하고 로 나타낸다.
이면 서로 다른 두 실근을 갖는다.
이면 한 실근(중근)을 갖는다.
이면 실근이 없다(제곱근 안이 음수라 실수 범위에서 계산할 수 없다).
판별식은 근의 공식을 계산하지 않고도 루트 안의 부호만 보고 실근의 개수를 미리 알 수 있게 해 준다.
을 근의 공식으로 푼다.
을 근의 공식으로 풀어 보자.
판별식은 으로 음수다.
근의 공식에 대입하면 인데, 은 실수 범위에서 정의되지 않는다(제곱해서 -16이 되는 실수는 없다).
"계산이 복잡해서 못 푸는 것"과 "애초에 실근이 존재하지 않는 것"은 다른 이야기다. 이 방정식은 계산 실수가 없어도 실수 범위의 해를 구할 수 없다 — 판별식이 음수이기 때문에 처음부터 실근이 없다는 것이 답이다.
그래프로 보면 이 의미가 더 분명해진다. 의 그래프는 x축 위쪽에서만 움직여 x축과 만나지 않는다.
이차방정식의 실근은 그 이차함수의 그래프가 x축과 만나는 점의 x좌표인데, 그래프가 x축과 만나지 않으니 실근도 없는 것이다.
판별식의 부호(D<0)와 그래프가 x축과 만나지 않는다는 사실이 정확히 같은 정보를 알려주고 있다.
판별식이 음수이면 계산을 더 진행해도 실근을 구할 수 없다. 이는 계산 실수가 아니라, 그 이차함수의 그래프가 x축과 만나지 않는다는 뜻이다.
근의 공식을 쓰기 전에 판별식의 부호부터 확인해 실근이 몇 개인지 예상해 본다.
이 차시와 같은 개념을 쓰는 추가 문항 5개다. 유형과 난이도가 섞여 있다.
인수분해가 되지 않는 이차방정식도 근의 공식 으로 항상 풀 수 있다.
판별식 의 부호로 실근의 개수를 미리 알 수 있다: 서로 다른 두 실근, 중근, 실근 없음.
은 계산 실수가 아니라 그 이차함수의 그래프가 x축과 만나지 않는다는 뜻이다.