중3 수학이차함수1 / 2 차시

이차함수꼭짓점그래프표준형

이차함수의 그래프와 꼭짓점

이차함수 y = ax² + bx + c의 그래프 모양을 이해하고, 꼭짓점 위치를 찾을 수 있다.

이차함수

y = a x^{2} + b x + c

의 그래프는 포물선이다.

a > 0

이면 아래로 볼록,

a < 0

이면 위로 볼록하다. 꼭짓점은 그래프의 가장 아래 또는 가장 위에 있는 점이다.

y = a {(x - p)}^{2} + q

꼴이면 꼭짓점은

(p, q)

다. 일반형

y = a x^{2} + b x + c

는 완전제곱을 통해 표준형으로 바꿀 수 있다.

y = x^{2} - 4 x + 1

의 꼭짓점을 구하시오.

기본예상 2분

y = x^{2} - 6 x + 2

의 꼭짓점 좌표를 구하시오.

이차함수의 꼭짓점을 찾는 기본 문항을 풀어 보자.

입문개념확인예상 1분

y = - 2 x^{2} + 1

의 그래프는 위로 볼록인가, 아래로 볼록인가?

기본적용예상 2분

y = x^{2} + 4 x + 1

의 꼭짓점 좌표를 구하시오.

표준형

y = a {(x - p)}^{2} + q

에서 꼭짓점이

(p, q)

인 이유는 식으로 바로 확인할 수 있다.

y = {(x - 3)}^{2} - 7

을 보자.

x = 3

일 때

{(x - 3)}^{2} = 0

이 되므로

y = - 7

로 가장 작아진다.

x

가 3에서 조금만 벗어나도

{(x - 3)}^{2}

이 0보다 커지므로

y

는

- 7

보다 커진다. 즉

(3, - 7)

이 그래프의 가장 아래 점이다. 여기서 헷갈리기 쉬운 점은 식의 부호와 꼭짓점 부호가 반대일 수 있다는 것이다.

y = {(x + 2)}^{2} - 5

는

{(x - (- 2))}^{2} - 5

와 같으므로 꼭짓점이

(- 2, - 5)

다.

x + 2

를 보고 꼭짓점

x

좌표를 2로 적으면 틀린다. 이 차이는 완전제곱이

{(x - p)}^{2}

꼴이라는 점에서 온다. 식으로 쓰면

p

는 "

x

에서 빼는 값"이다.

표준형은 반드시

y = a {(x - p)}^{2} + q

꼴로 보고

p

q

를 읽는다.

x + 2

는

x - (- 2)

로 바꾼다.

a, p, q를 움직여 보기

표준형

y = a {(x - p)}^{2} + q

에서 세 값을 하나씩 움직이면 어떤 값이 모양을 바꾸고 어떤 값이 위치만 바꾸는지 눈으로 구분할 수 있다.

그래프 조작표준형 a(x-p)^2+q에서 a, p, q가 그래프에 미치는 영향을 본다.

a1.0

p1.0

q0.0

y = 1.0(x - 1.0)² + 0.0
꼭짓점 (1.00, 0.00) · 판별식 D = 0.00 · 중근
실근 x = 1.00

D의 부호와 x축 교점의 개수가 항상 함께 움직이는지 확인해 보자.

이 차시와 같은 개념을 쓰는 추가 문항 5개다. 유형과 난이도가 섞여 있다.

심화서술예상 3분

y = x^{2} + 6 x + 2

의 꼭짓점을 구하기 위해 표준형으로 고치는 과정을 차례대로 설명하시오.

기본적용예상 3분

y = 2 x^{2} - 8 x + 5

의 꼭짓점 좌표를 구하시오.

심화오답률상위예상 3분

y = - 2 x^{2} + 12 x - 13

의 꼭짓점 좌표를 구하시오.

입문기본예상 1분

y = 3 x^{2} - 2

의 그래프는 위로 볼록인가, 아래로 볼록인가?

심화오답률상위예상 3분

y = - 3 x^{2} + 6 x - 5

의 꼭짓점 좌표를 구하시오. 다음 중 옳은 것을 고르시오.

이차함수 그래프는 포물선이며, 표준형

y = a {(x - p)}^{2} + q

에서 꼭짓점은

(p, q)

다.