삼각비앙각높이거리
삼각비의 활용
삼각비를 이용해 직각삼각형에서 모르는 변의 길이를 구하고, 앙각을 이용한 높이·거리 문제를 풀 수 있다.
직각삼각형에서 한 예각의 크기와 변 하나의 길이를 알면, 삼각비의 정의를 거꾸로 이용해 나머지 변의 길이를 구할 수 있다.
예를 들어 빗변의 길이와 를 알면 에서 로 대변(BC)의 길이를 구한다.
실생활에서는 눈높이에서 대상을 올려다볼 때 수평선과 시선이 이루는 각을 앙각이라 하고, 내려다볼 때는 부각이라 한다.
직각삼각형 ABC에서 이고 빗변 AB의 길이를 , 를 알 때이 식은 sin, cos의 정의식 양변에 빗변 를 곱해서 얻는다.
나무에서 10m 떨어진 지점에서 나무 꼭대기를 올려다본 앙각이 이다. 관찰자의 눈높이는 무시할 때 나무의 높이를 구하시오.
앞의 예제처럼 관찰 지점에서 나무 밑동까지의 거리를 알면 을 그대로 쓸 수 있다. 그런데 밑동까지의 거리를 잴 수 없는 경우, 예를 들어 나무와 강 건너에 있어 밑동에 다가갈 수 없는 경우는 어떨까.
한 지점에서만 앙각을 재면 직각삼각형의 밑변 길이를 모르므로 높이를 바로 구할 수 없다. 이때는 나무 쪽으로 일정 거리 만큼 다가간 두 번째 지점에서 앙각을 한 번 더 잰다.
나무의 높이를 , 두 번째(가까운) 지점에서 밑동까지의 거리를 라 하자. 첫 번째 지점의 앙각이 , 두 번째 지점의 앙각이 이고 두 지점 사이의 거리가 이면두 식을 각각 에 대해 정리하면 와 이고, 두 식의 우변이 같으므로 를 구할 수 있다. 를 구한 뒤 에 대입하면 높이가 나온다.
한 지점의 앙각만으로는 미지수(밑변, 높이)가 둘이라 식이 하나뿐이면 풀리지 않는다. 지점을 하나 늘리면 식도 하나 늘어 연립해서 풀 수 있다.
밑변의 길이를 직접 잴 수 없으면 삼각비 하나만으로는 높이를 구할 수 없다. 관찰 지점을 하나 더 두어 식을 두 개 만들어야 한다.
삼각비를 이용해 변의 길이, 높이, 거리를 구하는 연습이다.
이 차시와 같은 개념을 쓰는 추가 문항 5개다. 유형과 난이도가 섞여 있다.
직각삼각형에서 빗변과 한 예각을 알면 , 로 나머지 변을 구한다 (BC: 대변, AC: 밑변, AB: 빗변).
밑변의 길이를 직접 잴 수 없을 때는 관찰 지점을 하나 더 두어 두 앙각으로 식 두 개를 세워 연립해서 풀어야 한다.