중3 수학원의 성질과 원주각1 / 3 차시

원현접선수직이등분선

원과 현, 접선의 성질

원에서 현의 수직이등분 성질과 접선·반지름의 수직 관계, 접선의 길이가 같음을 이해하고 활용할 수 있다.

원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 수직이등분한다. 원의 접선은 접점을 지나는 반지름과 수직이다. 원 밖의 한 점에서 그 원에 그은 두 접선의 길이는 서로 같다.

반지름

r

, 현의 절반 길이

a

, 중심에서 현까지의 거리

d

라 하면

r^{2} = a^{2} + d^{2}

이다(직각삼각형이 되기 때문). 원 밖의 점 P에서 그은 두 접선의 접점을 A, B라 하면

P A = P B

이다.

반지름과 직선의 위치를 움직여 접선 보기

반지름과 직선의 위치를 움직이며 원과 직선이 만나는 모습을 확인해 보자. 중심에서 직선까지의 거리와 반지름을 비교하면 두 점에서 만나는지, 접하는지, 만나지 않는지 판단할 수 있다.

도형 스케치반지름과 직선의 위치를 움직이며 중심에서 직선까지의 거리와 반지름의 크기에 따라 만남과 접함이 달라지는 모습을 본다.

반지름 r2.0

직선 y = k1.0

중심에서 직선까지의 거리 d = 1.00 · 반지름 r = 2.00
d < r 이므로 두 점에서 만난다

교점의 개수는 d와 r의 대소만으로 정해진다. 방정식을 풀지 않아도 판정할 수 있다.

반지름이 5인 원 O의 중심에서 현 AB까지의 거리가 3일 때, 현 AB의 길이를 구하시오.

기본예상 2분

반지름이 5인 원 O의 중심에서 현 AB까지의 거리가 3일 때, 현 AB의 길이를 구하시오.

원 O에서 현 AB에 중심 O로부터 수선을 내려 그 발을 H라 하자. OA와 OB는 둘 다 반지름이므로 길이가 같다. OH는 두 삼각형 OAH, OBH가 공통으로 가지는 변이고,

∠ O H A = ∠ O H B = 90 °

로 같다. 직각삼각형 OAH와 OBH는 빗변(

O A = O B

)과 직각을 낀 한 변(OH, 공통)이 각각 같으므로 합동이다(RHS 합동). 합동인 두 삼각형에서 대응변은 같으므로

A H = B H

, 즉 H는 AB의 중점이다. 이 논증은 O에서 AB까지의 실제 거리가 얼마인지와 상관없이 항상 성립한다 —

O A = O B

가 반지름이라는 사실만 쓰기 때문이다.

역도 성립한다: 현의 수직이등분선은 반드시 원의 중심을 지난다. 두 성질은 서로 짝을 이룬다.

수직이등분과 접선의 길이가 같은 성질을 이용해 길이를 구하는 연습이다.

입문개념확인예상 1분

원 O 밖의 한 점 P에서 원 O에 그은 두 접선의 접점을 각각 A, B라 하자.

P A = 12

일 때

P B

의 길이를 구하시오.

기본함정예상 2분

원 O의 반지름이 13이고 중심에서 현 CD까지의 거리가 12일 때, 현 CD의 길이를 구하시오.

심화적용예상 2분

반지름이 10인 원 O 밖의 점 P에서 원 O에 접선을 그었다. 접점을 A라 하자.

O P

의 길이가 26일 때

P A

의 길이를 구하시오.

이 차시와 같은 개념을 쓰는 추가 문항 4개다. 유형과 난이도가 섞여 있다.

기본적용예상 2분

원 O의 중심에서 현 AB까지의 거리가 4이고 현 AB의 길이가 6일 때, 원 O의 반지름을 구하시오.

심화오답률상위예상 2분

원 O 밖의 점 P에서 원 O에 접선을 그었다. 접점을 A라 하자. 원의 반지름이 12이고

P A = 9

일 때

O P

의 길이를 구하시오.

입문기본예상 1분

원 O 밖의 한 점 P에서 원 O에 그은 두 접선의 접점을 각각 A, B라 하자.

P A = 9

일 때

P B

의 길이를 구하시오.

심화오답률상위예상 2분

원 O 밖의 점 P에서 원 O에 접선을 그었다. 접점을 A라 하자. 원의 반지름이 5이고

P A = 12

일 때

O P

의 길이를 구하시오.

원의 중심에서 현에 내린 수선은 현을 수직이등분하고, 그 역도 성립한다. 원의 접선은 접점을 지나는 반지름과 수직이며, 원 밖의 한 점에서 그은 두 접선의 길이는 서로 같다.