본문으로 건너뛰기
수학 학습
← 단원으로중3 수학삼각비와 통계1 / 3 차시
삼각비sincostan특수각

삼각비의 뜻과 특수각의 삼각비

직각삼각형에서 한 예각에 대한 삼각비 sin, cos, tan의 뜻을 알고, 30°·45°·60°의 삼각비 값을 구할 수 있다.

선행:닮음과 피타고라스 정리
직각삼각형 ABC에서 ∠C=90°이고 ∠A를 기준으로 삼을 때, ∠A의 대변(빗변과 마주보지 않는 변) BC를 높이, ∠A에 붙은 변 AC를 밑변, 가장 긴 변 AB를 빗변이라 부른다. ∠A의 크기가 정해지면 세 변의 비(높이:밑변:빗변)도 삼각형의 크기와 상관없이 항상 같은 값으로 정해진다. 이 비를 각각 이름 붙여 sin A, cos A, tan A라 하고, 이를 통틀어 ∠A의 삼각비라 한다.
삼각형 ABC에서 ∠C=90°이고 ∠A를 기준으로 할 때 sinA=BC/AB, cosA=AC/AB, tanA=BC/AC이다 (BC: ∠A의 대변, AC: 밑변, AB: 빗변). 30°, 45°, 60°는 자주 쓰여 값을 외워 둔다. sin30°=1/2, cos30°=3/2, tan30°=3/3 sin45°=2/2, cos45°=2/2, tan45°=1 sin60°=3/2, cos60°=1/2, tan60°=3
빗변을 늘여도 삼각비는 그대로일까
∠A를 고정한 채 빗변만 늘였다 줄여 보자. 세 변의 길이는 달라지는데 sin A, cos A, tan A는 어떻게 되는지 확인한다. ∠A를 30°, 45°, 60°에 맞춰 외운 값과 견주어 보는 것도 좋다.
평면도형빗변을 늘여도 sin·cos·tan이 변하지 않는 것을 본다. 30°·45°·60°에 맞춰 외운 값과 견준다.
ABC
∠A30°
빗변 AB4.0
높이 BC = 2.00 · 밑변 AC = 3.46 · 빗변 AB = 4.00 → sin A = 0.500 · cos A = 0.866 · tan A = 0.577
빗변만 늘였다 줄여 보자. 세 변의 길이는 모두 달라지는데 sin A, cos A, tan A는 꿈쩍도 하지 않는다. 삼각비는 크기가 아니라 각이 정하는 값이기 때문이다. ∠A를 30°, 45°, 60°에 맞춰 두고 외운 값과 견주어 보자.
∠C=90°인 직각삼각형 ABC에서 AB=5, BC=3, AC=4일 때 sinA, cosA, tanA를 구하시오.
입문기본예상 2분
∠C=90°인 직각삼각형 ABC에서 AB=5, BC=3, AC=4일 때 sinA, cosA, tanA를 구하시오.
∠A=30°인 직각삼각형을 크기만 다르게 두 개 그려 보자. 하나는 빗변이 2, 다른 하나는 빗변이 10이다. 두 삼각형 모두 직각(90°)과 ∠A(30°)가 같으므로 나머지 한 각도 180°−90°−30°=60°로 같다. 세 각이 모두 같으므로 두 삼각형은 AA 닮음이다. 닮은 도형에서는 대응변의 길이의 비가 일정하므로, 빗변이 2인 삼각형과 10인 삼각형은 대응변끼리 정확히 5배 차이가 난다. 그런데 sinA는 (대변)/(빗변)처럼 같은 삼각형 안의 두 변의 비다. 빗변이 5배가 되면 대변도 함께 5배가 되므로, 그 비율(분수 값)은 그대로 유지된다. 그래서 빗변이 2든 10이든 sin30°=1/2로 똑같이 나온다. 이 논증은 ∠A의 크기만 같으면 항상 성립한다 — 닮음의 근거가 '두 각이 같다(AA 닮음)'는 사실뿐이기 때문이다. 그래서 삼각비는 삼각형의 크기가 아니라 오직 각의 크기에만 의존하는 값이다.
삼각비는 각의 크기에만 의존하고 삼각형의 크기에는 의존하지 않는다. 변의 길이가 다르게 주어져도 각이 같으면 삼각비 값은 같다.
직각삼각형의 변의 길이로부터 삼각비를 구하거나, 특수각의 삼각비 값을 이용하는 연습이다.
기본예상 1분
sin30°+cos60°의 값을 구하시오.
기본함정예상 2분
∠C=90°인 직각삼각형 ABC에서 ∠A=45°, BC=4일 때 AB의 길이를 구하시오.
이 차시와 같은 개념을 쓰는 추가 문항 5개다. 유형과 난이도가 섞여 있다.
입문기본예상 1분
sin45°×cos45°의 값을 구하시오.
기본적용예상 3분
∠C=90°인 직각삼각형 ABC에서 AC=6, BC=8일 때 AB의 길이와 tanA의 값을 차례로 구하시오. (AB, tan A 순서로 차례로 나열)
심화오답률상위예상 3분
∠C=90°인 직각삼각형 ABC에서 ∠A=30°, BC=5일 때 AC의 길이를 구하시오.
심화오답률상위예상 2분
tan30°+tan60°의 값을 구하시오.
입문기본예상 2분
∠C=90°인 직각삼각형 ABC에서 AB=13, BC=5, AC=12일 때 sinA, cosA, tanA를 옳게 짝지은 것을 고르시오.
직각삼각형에서 ∠A에 대해 sinA=BC/AB, cosA=AC/AB, tanA=BC/AC이다 (BC: 대변, AC: 밑변, AB: 빗변). 삼각비는 삼각형의 크기와 무관하게 각의 크기만으로 정해지며, 30°·45°·60°의 값은 외워 둔다.
관련
차시삼각비의 활용
다음: 삼각비의 활용