유리수유한소수순환소수소인수분해
유리수와 순환소수
기약분수의 분모를 소인수분해해 유한소수인지 순환소수인지 판단하고, 순환소수를 분수로 나타낼 수 있다.
정수가 아닌 유리수를 분수로 나타낸 뒤 소수로 바꾸면 유한소수(소수점 이하 자리가 끝나는 소수) 또는 순환소수(같은 숫자 배열이 무한히 되풀이되는 소수)가 된다.
예를 들어 는 유한소수이고, 은 3이 끝없이 되풀이되는 순환소수다.
기약분수 (, 는 정수, )에서 분모 를 소인수분해했을 때
소인수가 2와 5뿐이면 유한소수로 나타낼 수 있고, 2와 5 이외의 소인수가 있으면 순환소수가 된다.
분수가 기약분수가 아니면 먼저 약분해야 한다 — 약분 전 분모로 판단하면 틀릴 수 있다.
을 소수로 나타내면 유한소수인지 순환소수인지 판단하시오.
을 세로셈으로 직접 해 보자.
은 몫 3, 나머지 1이다. 나머지가 다시 1이 되었으므로 다음 자리도 똑같이 몫 3, 나머지 1이 반복된다.
이 반복이 우연이 아닌 이유가 있다. 3으로 나눌 때 나올 수 있는 나머지는 세 가지뿐이다.
나머지가 0이 되면 나눗셈이 끝나 유한소수가 되지만, 3처럼 2와 5 이외의 소인수를 가진 수로 나누면 나머지가 절대 0이 될 수 없다.
나머지가 0이 아닌 채로 나눗셈을 계속하면, 나올 수 있는 나머지가 유한(최대 분모 − 1가지)하므로 언젠가 이전에 나온 나머지가 반드시 다시 나타난다.
같은 나머지가 다시 나오는 순간부터는 이후의 계산 전체가 그대로 되풀이된다 — 그래서 순환소수가 된다.
이 논증은 분모가 몇이든 똑같이 적용된다. 나눗셈의 나머지 종류가 유한하다는 사실 하나가 "끝나거나, 아니면 반드시 되풀이된다"는 결론을 만든다.
나머지가 0이 되면 유한소수, 0이 아닌 나머지가 되풀이되면 순환소수다. 분모의 소인수에 2, 5 이외의 수가 있으면 나머지가 0이 될 수 없다.
분모의 소인수로 유한소수·순환소수를 판단하고, 순환소수를 기약분수로 바꾸는 연습이다.
이 차시와 같은 개념을 쓰는 추가 문항 5개다. 유형과 난이도가 섞여 있다.
기약분수의 분모를 소인수분해했을 때 소인수가 2와 5뿐이면 유한소수, 그 외의 소인수가 있으면 순환소수가 된다.
순환소수가 생기는 이유는 나눗셈의 나머지 종류가 유한해서 나머지가 반드시 되풀이되기 때문이다.
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