연립방정식가감법대입법
연립방정식과 그 해
미지수가 2개인 연립일차방정식의 해의 뜻을 알고, 가감법과 대입법으로 해를 구할 수 있다.
선행:문자식과 일차방정식
처럼 미지수가 2개인 일차방정식은 만족하는 순서쌍이 무수히 많다. , , 모두 해가 된다.
두 방정식을 동시에 만족하는 를 구하는 것을 연립방정식을 푼다고 하고, 그 순서쌍을 연립방정식의 해라고 한다.
방정식 하나로는 해가 무수히 많았지만, 조건을 하나 더 걸면 대개 해가 하나로 정해진다.
**가감법**: 한 문자의 계수를 같게(부호는 반대로) 맞춘 뒤 두 식을 더하거나 빼서 그 문자를 없앤다.
**대입법**: 한 식을 한 문자에 대해 정리한 뒤, 그것을 다른 식에 대입해 문자 하나를 없앤다.
둘 다 미지수 2개짜리 식을 미지수 1개짜리 식으로 줄이는 것이 목표이며, 어느 쪽을 써도 같은 해가 나온다.
, 을 가감법으로 푸시오.
, 를 가감법으로 풀려고 그냥 두 식을 통째로 더하면 이 되어 문자가 하나도 없어지지 않는다.
가감법이 성립하는 이유를 다시 보자. 두 식이 참이면 "좌변끼리 더한 것 = 우변끼리 더한 것"도 참이다.
그런데 이 더하기가 문자를 없애 주려면, 없애려는 문자의 계수가 두 식에서 크기는 같고 부호는 반대여야 한다. 그래야 더했을 때 그 항이 이 되어 사라진다.
위 식에서 의 계수는 둘 다 로 같고 부호도 같다(둘 다 ). 이 상태로 더하면 가 두 배로 남지, 사라지지 않는다.
를 없애려면 한쪽 식의 부호를 반대로 만들어야 한다. 의 양변에 을 곱하면 가 되고, 이제 의 계수가 과 로 반대가 된다.
이 식을 과 더하면 , 즉 으로 가 정확히 사라진다.
그냥 더하기만 하면 소거되는 것이 아니라, "없애려는 문자의 계수를 크기는 같고 부호는 반대로 맞춘 뒤" 더해야 소거된다는 조건이 핵심이다.
가감법은 계수의 크기를 맞추는 것만으로 끝나지 않는다. 부호까지 반대로 맞춰야 더했을 때 그 항이 사라진다. 부호가 같으면 빼야 소거된다.
가감법과 대입법을 각각 이용해 연립방정식을 푸는 연습이다.
이 차시와 같은 개념을 쓰는 추가 문항 5개다. 유형과 난이도가 섞여 있다.
연립방정식의 해는 두 방정식을 동시에 만족하는 이다.
가감법은 없애려는 문자의 계수를 크기는 같고 부호는 반대로 맞춘 뒤 더해서 그 문자를 소거하고, 대입법은 한 식을 한 문자에 대해 정리해 다른 식에 대입한다.
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