피타고라스 정리직각삼각형
피타고라스 정리와 그 활용
직각삼각형에서 피타고라스 정리를 이용해 변의 길이를 구하고, 세 변의 길이로 삼각형이 직각삼각형인지 판별할 수 있다.
직각삼각형에서 직각을 낀 두 변의 길이를 각각 , , 빗변의 길이를 라 하면 이 성립한다.
이 정리는 직각삼각형일 때만 성립하는 성질이며, 세 변의 길이를 알면 나머지 하나를 몰라도 구할 수 있게 해 준다.
(는 빗변)
이 정리의 역도 성립한다: 삼각형의 세 변의 길이 , , (가 가장 긴 변)에 대해 이 성립하면, 그 삼각형은 빗변이 인 직각삼각형이다.
직각삼각형에서 직각을 낀 두 변의 길이가 각각 , 일 때, 빗변의 길이를 구하시오.
삼각형의 세 변의 길이가 5, 6, 7로 주어졌다고 하자. 이 삼각형이 직각삼각형인지 알고 싶은데, 각을 직접 잴 수는 없다.
이때 피타고라스 정리의 역을 이용한다. 가장 긴 변(7)의 제곱과 나머지 두 변의 제곱의 합을 비교하면 된다.
이고 이다. 이므로 이 나머지 제곱의 합보다 작다 — 이 경우는 직각삼각형이 아니라 예각삼각형이다.
반대로 변의 길이가 5, 12, 13이면 이고 로 정확히 같다. 이때만 직각삼각형이다.
만약 가장 긴 변의 제곱이 나머지 제곱의 합보다 크다면(예: 4, 5, 8일 때 ) 그 삼각형은 둔각삼각형이 된다.
즉 과 의 합을 비교하는 것만으로 직각·예각·둔각을 모두 구분할 수 있다 — 같으면 직각, 나머지 합이 더 크면 예각, 더 작으면 둔각이다.
피타고라스 정리의 역을 쓸 때는 반드시 가장 긴 변을 c 자리에 놓고 비교해야 한다. 어느 변을 c로 놓아도 되는 것이 아니다.
피타고라스 정리와 그 역을 이용해 변의 길이를 구하고 삼각형의 종류를 판별하는 연습이다.
이 차시와 같은 개념을 쓰는 추가 문항 5개다. 유형과 난이도가 섞여 있다.
직각삼각형에서 (는 빗변)이 성립하며, 그 역도 성립한다.
세 변 중 가장 긴 변의 제곱과 나머지 두 변의 제곱의 합을 비교하면 직각(같음)·예각(나머지 합이 더 큼)·둔각(나머지 합이 더 작음)을 판별할 수 있다.