외심내심수직이등분선각의 이등분선
삼각형의 외심과 내심
삼각형의 외심과 내심의 뜻과 성질을 알고, 이를 이용해 각의 크기를 구할 수 있다.
선행:이등변삼각형의 성질
삼각형의 세 변의 수직이등분선은 한 점에서 만나며, 이 점을 외심이라 한다. 외심은 세 꼭짓점에서 같은 거리에 있어 그 거리를 반지름으로 하는 외접원을 그릴 수 있다.
삼각형의 세 내각의 이등분선도 한 점에서 만나며, 이 점을 내심이라 한다. 내심은 세 변에서 같은 거리에 있어 내접원을 그릴 수 있다.
외심 O에 대해 (세 꼭짓점까지의 거리가 같다).
내심 I에서 세 변까지의 거리는 모두 같다(내접원의 반지름).
직각삼각형의 외심은 빗변의 중점과 일치한다 — 빗변이 외접원의 지름이 되기 때문이다.
인 직각삼각형 ABC에서 외심의 위치를 말하시오.
외심은 "세 변의 수직이등분선의 교점"으로 정의될 뿐, 삼각형 안에 있어야 한다는 조건은 어디에도 없다.
예각삼각형에서는 세 수직이등분선이 삼각형 내부에서 만나 외심이 안쪽에 있다. 직각삼각형에서는 외심이 빗변 위(경계선)에 정확히 걸쳐 있다.
그런데 한 각이 매우 둔각인 삼각형, 예를 들어 인 삼각형을 생각해 보자. 가 클수록 에서 먼 쪽으로 삼각형이 넓게 벌어지는데,
외심은 여전히 세 꼭짓점에서 같은 거리를 유지해야 하므로, 그 위치가 삼각형의 "안쪽"이 아니라 변 BC를 사이에 두고 의 반대쪽 바깥으로 밀려난다.
즉 외심의 위치(내부·경계·외부)는 삼각형이 예각·직각·둔각 중 어느 것이냐에 따라 달라진다. 예각삼각형은 내부, 직각삼각형은 빗변 위, 둔각삼각형은 외부다.
이것은 외심의 정의(세 꼭짓점에서 같은 거리)가 "삼각형 내부의 점"을 요구하는 것이 아니라 "거리가 같은 점"만을 요구하기 때문에 생기는 자연스러운 결과다.
외심의 위치는 삼각형의 내부·변 위·외부로 삼각형의 종류(예각·직각·둔각)에 따라 달라진다. 내심은 항상 삼각형 내부에 있다는 점과 다르다.
외심과 내심의 성질을 이용해 각과 길이를 구하는 연습이다.
이 차시와 같은 개념을 쓰는 추가 문항 5개다. 유형과 난이도가 섞여 있다.
외심은 세 변의 수직이등분선의 교점이며 세 꼭짓점에서 같은 거리에 있고, 내심은 세 내각의 이등분선의 교점이며 세 변에서 같은 거리에 있다.
외심의 위치는 삼각형이 예각(내부)·직각(빗변 위)·둔각(외부)인지에 따라 달라지지만, 내심은 항상 삼각형 내부에 있다.